Кратко
- Знаменатель q — постоянное число, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Его ищут как частное любого члена и предыдущего: q = bₙ / bₙ₋₁.
- Если известны первый и n-й члены, работает q = (bₙ / b₁)^(1/(n−1)). Для несоседних — q = (bₙ / bₘ)^(1/(n−m)).
- Знаменатель не может равняться нулю. Нулевых членов в школьном определении тоже нет: иначе отношение не определить.
- Отрицательный q даёт знакочередующийся ряд. Корень чётной степени даёт двух кандидатов — плюс и минус; знак проверяют по членам.
- После вычисления проверьте хотя бы две пары соседних членов. Разные частные означают, что это уже не геометрическая прогрессия.
- В задачах q часто прячут за суммой, пропущенным членом или текстом о процентах. Тогда составляют уравнение по формуле n-го члена, а не делят наугад.
Этих шести пунктов достаточно, чтобы не растеряться на контрольной. Дальше — каждый способ с цифрами и типичными ошибками.
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, разделите любой её член на предыдущий. Формула короткая: q = bₙ / bₙ₋₁. Нет соседних членов, а есть первый и пятый — подставляете их в bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ и извлекаете корень. Вот механика девятого класса. По опыту репетиторства дальше всё сыплется не на формуле, а на выборе, какую именно применить.
Что такое знаменатель и зачем он нужен
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число и есть знаменатель. В учебниках его обозначают буквой q, члены — b₁, b₂, …, bₙ. Арифметическую прогрессию пишут через aₙ и разность d, так что буквы лучше не путать.
Ряд 3, 6, 12, 24, 48. Каждое число вдвое больше предыдущего, q = 2. Или 81, 27, 9, 3, 1 — здесь умножаем на 1/3. Или 5, −10, 20, −40: знаки чередуются, модуль удваивается, q = −2. Три разные картины, одна идея: постоянное отношение соседних членов.
- q больше 1 — члены растут по модулю, ряд «разгоняется».
- q между 0 и 1 — члены уменьшаются, знак сохраняется, если первый член положительный.
- q = 1 — все члены одинаковые. Формально это тоже геометрическая прогрессия, стационарная.
- q = −1 — строгое чередование: b₁, −b₁, b₁, −b₁, …
- q меньше 0 — знакочередующийся ряд, модуль зависит от |q|.
Ноль как знаменатель запрещён. Умножили на ноль — дальше сплошные нули, а отношение уже не имеет смысла. В определении, которое фиксирует Википедия, прямо сказано: первый член не ноль, знаменатель — постоянное ненулевое число.
Зачем уметь считать q? Потому что это единственный двигатель последовательности. Знаете q и b₁ — знаете любой член и сумму. Не знаете q — дальше ничего не соберёте, сколько бы чисел ни нарисовали.
Способ 1. Два соседних члена
Самый короткий путь. Есть два члена подряд — делите следующий на предыдущий. Не «большее число на меньшее», а член с большим индексом на член с меньшим. Если q отрицательный, следующий по модулю может быть и меньшим, так что ориентируйтесь на номера, а не на величину.
Формула: q = bₙ / bₙ₋₁ = bₙ₊₁ / bₙ. Работает для любой пары соседних членов. Если ряд геометрический, все такие частные совпадают. Это одновременно и способ найти q, и способ проверить, не арифметический ли ряд перед вами и не случайный набор.
Пример с целыми числами
Дано: 2, 6, 18, 54. Считаем 6 / 2 = 3, 18 / 6 = 3, 54 / 18 = 3. Все частные одинаковые, q = 3. Я советую проверить две пары, а не одну. На практике видел работы, где ученик разделил 6 на 2, получил 3 и пошёл дальше, а третий член в условии был 20. Прогрессия уже сломалась.
Пример с дробью и минусом
Дано: 16, −8, 4, −2. Имеем (−8) / 16 = −1/2. Контроль: 4 / (−8) = −1/2, затем (−2) / 4 = −1/2. Знаменатель q = −1/2. Здесь легко потерять минус на первом шаге. Дальше ряд «не сойдётся», и вы начнёте искать ошибку в арифметике, которой нет.
- Делите член с большим индексом на член с меньшим.
- Не сокращайте минусы на глаз, пока не записали дробь.
- Если дали три и больше членов — проверьте две разные пары.
- Частные разные? Остановитесь. Это не геометрическая прогрессия.
Этот способ закрывает большинство упражнений, где ряд уже выписан. Сложнее начинается, когда соседних членов нет.
Способ 2. Первый и n-й член
Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Отсюда q = (bₙ / b₁)^(1/(n−1)). Показатель — количество шагов между первым и n-м, то есть n − 1, а не n. Классическая ловушка: ученик ставит n в степень и удивляется, почему ответ не целый.
Пример. b₁ = 5, b₅ = 405. Тогда 405 = 5 · q⁴, q⁴ = 81, q = ±3. Развилка. Если в условии не сказано, что все члены положительные, формально подходят оба. q = 3 даёт 5, 15, 45, 135, 405. q = −3 даёт 5, −15, 45, −135, 405. Пятый член тот же, потому что степень чётная. Без дополнительного условия — знак второго члена, сумма, «прогрессия растёт» — оба ответа живые. На тестах иногда ждут только плюс, иногда оба. Читайте условие до конца, а не только числа.
Ещё пример, уже без двусмысленности. b₁ = 1944, b₄ = 576. Имеем 576 = 1944 · q³, q³ = 576 / 1944 = 8 / 27, q = 2/3. Степень нечётная — отрицательного двойника в действительных числах нет, если основание положительное. Удобно, меньше мороки.
Способ 3. Два любых, не обязательно соседние
Общий случай. Известны bₘ и bₙ, n больше m. Записываем оба через b₁ и q, делим — b₁ сокращается, остаётся q^(n−m) = bₙ / bₘ. Отсюда q = (bₙ / bₘ)^(1/(n−m)). Та же идея, что в способе 2, просто старт не с первого члена.
Классика из сборников: b₆ = −1/9, b₉ = 24. Делим: 24 / (−1/9) = −216. Показатель 9 − 6 = 3, значит q³ = −216, q = −6. Минус не прилетает с неба: он уже сидел в частном, нечётный корень его сохранил. Если бы индексы отличались на чётное число, отрицательное частное в действительных числах решения бы не дало. И это тоже ответ, который надо уметь объяснить, а не панически искать арифметическую ошибку.
- Запишите оба члена через b₁ и q.
- Разделите член с большим номером на член с меньшим.
- Показатель степени равен разности индексов.
- Посмотрите на чётность показателя и знак частного — от этого зависит количество корней.
На практике этот способ спасает, когда в условии дыра: дали третий и седьмой, а первого нет и не просят. Не надо восстанавливать весь ряд, если спрашивают только q.
Как найти q по трём последовательным членам
Свойство: квадрат среднего равен произведению соседних. То есть bₖ² = bₖ₋₁ · bₖ₊₁. Это не отдельная магическая формула для q, а критерий. Равенство не выполняется — прогрессия не геометрическая. Выполняется — знаменатель всё равно считаете как bₖ / bₖ₋₁.
Зачем тогда свойство? Чтобы находить пропущенный средний член. Пример: 4, x, 36. Тогда x² = 4 · 36 = 144, x = ±12. Если x = 12, q = 3. Если x = −12, q = −3. Два легальных ряда: 4, 12, 36 и 4, −12, 36. Условие «все члены положительные» отсекает второй. Если три числа удовлетворяют b² = ac, для задачи «вставьте число» этого критерия достаточно.
Когда вместо членов дана сумма
Сумму первых n членов считают так: Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q) при q ≠ 1. Если q = 1, просто Sₙ = n · b₁. Другая запись той же формулы: Sₙ = (bₙ · q − b₁) / (q − 1). Какую писать — дело вкуса, результат один.
Найти q из одной только суммы не выйдет: слишком много неизвестных. Нужна ещё хоть одна величина — b₁, какой-то член, другая сумма. Типичная конструкция: известны Sₙ и S₂ₙ, или S₃ и первый член. Составляете уравнение относительно q. Часто оно сводится к квадратному.
Эскиз. Пусть b₁ = 2, S₃ = 14. Тогда 2 · (1 − q³) / (1 − q) = 14. Помним, что 1 − q³ = (1 − q)(1 + q + q²), при q ≠ 1 сокращается, остаётся 2(1 + q + q²) = 14, q² + q − 6 = 0. Корни 2 и −3. Проверка: q = 2 даёт 2 + 4 + 8 = 14. q = −3 даёт 2 − 6 + 18 = 14. Снова два сюжета. Если в условии «все члены положительные», −3 отпадает.
Для бесконечной убывающей прогрессии, когда |q| меньше 1, сумма всех членов S = b₁ / (1 − q). Отсюда q = 1 − b₁ / S. Формулу любят в задачах на периодические десятичные дроби.
Положительный, отрицательный и дробный знаменатель
Тип q меняет не формулу, а поведение ряда и количество корней.
| Знаменатель q | Как выглядит ряд | На что обращать внимание, ища q |
|---|---|---|
| q больше 1 | Члены растут, знаки стабильны, если b₁ положительный | Корень чётной степени даёт ещё и отрицательного двойника — его надо отдельно принять или отбросить |
| q между 0 и 1 | Члены уменьшаются, остаются того же знака | Легко спутать с арифметической прогрессией (вычитанием). Проверяйте частное, а не разность |
| q = 1 | Все члены равны | Формула суммы с (1 − q) в знаменателе не работает, считаете n · b₁ |
| q = −1 | Чередование двух противоположных чисел | Сумма чётного количества членов равна нулю, нечётного — b₁ |
| q меньше 0, |q| ≠ 1 | Знаки скачут, модуль растёт или падает | Чётная степень прячет минус, нечётная его показывает |
Самая коварная строка — последняя. Замечал такое: ученик правильно находит |q|, ставит плюс «потому что корень» и получает ряд, который не проходит через данный отрицательный член. Модуль совпал, знаки — нет. Половина баллов исчезает на ровном месте.
Отдельно про q между −1 и 0, скажем q = −1/2. Модуль уменьшается, знаки чередуются: 16, −8, 4, −2, 1. Для бесконечной суммы |q| меньше 1 выполняется: S = 16 / (1 + 1/2) = 32/3.
Сравнение способов: что брать в какой задаче
Чтобы не перебирать формулы наугад, сведём их к памятке.
| Что известно | Какая формула | Где обычно ломается |
|---|---|---|
| Два соседних члена | q = bₙ / bₙ₋₁ | Делят наоборот или игнорируют знак |
| b₁ и bₙ | q = (bₙ / b₁)^(1/(n−1)) | Ставят степень n вместо n − 1 |
| bₘ и bₙ | q = (bₙ / bₘ)^(1/(n−m)) | Путают разность индексов; забывают про два корня |
| Три числа подряд, среднее неизвестно | bₖ² = bₖ₋₁ · bₖ₊₁, далее q как частное | Теряют отрицательный корень для среднего члена |
| Сумма и ещё что-то (b₁ или другая сумма) | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | Забывают случай q = 1 и сокращение 1 − qⁿ |
Если в условии есть ряд из трёх и более чисел — начинайте со способа 1, он самый дешёвый по времени. Формулы с корнями включайте, когда соседних членов нет. Сумму — только когда без неё никак: уравнение длиннее, легче ошибиться в арифметике.
Решённые задачи, которые ставят чаще всего
Четыре сюжета. Не олимпиадные — уровень учебника и типичного теста.
Задача 1. Ряд уже выписан
Найдите знаменатель прогрессии 7, 21, 63, 189. Делим 21 / 7 = 3. Контроль: 63 / 21 = 3, 189 / 63 = 3. Ответ: q = 3. Если в тетради вместо 189 появится 198, частное поплывёт, и вы начнёте выдумывать дробь.
Задача 2. Есть первый и четвёртый
b₁ = −2, b₄ = −54. По формуле −54 = −2 · q³, q³ = 27, q = 3. Знаки обоих членов отрицательные, степень нечётная — минусы сократились. Ряд: −2, −6, −18, −54. Положительный знаменатель и отрицательный старт — нормальная комбинация. Не ставьте силой q = −3: тогда четвёртый член получился бы положительным.
Задача 3. Знаки скачут
b₂ = 6, b₅ = −48. Имеем q³ = (−48) / 6 = −8, q = −2. Ряд от второго члена: 6, −12, 24, −48. Первый, если надо: b₁ = 6 / (−2) = −3. Полное начало: −3, 6, −12, 24, −48. Такие задачи любят в тестах именно из-за минуса в ответе. Стоит себе среди вариантов «2», «−2», «8», «−8», и рука тянется к положительному.
Задача 4. Спрятана в тексте
Бактерия делится так, что каждые полчаса количество удваивается. Сейчас их 500. Через сколько таких интервалов станет 8000? Знаменатель очевидный: q = 2. Дальше 8000 = 500 · 2ⁿ⁻¹, 16 = 2ⁿ⁻¹, n − 1 = 4, n = 5. Четыре интервала — два часа, если шаг полчаса. Текст лишь маскирует b₁ и q словами «сейчас» и «удваивается».
То же с банковским процентом. Прирост 5% годовых — это q = 1,05, не 0,05 и не 5. Вложили 1000 грн — через год 1050, не 50. Знаменатель умножает весь предыдущий член, это не «добавка сверху». С распадом наоборот: потеря 20% массы каждый год даёт q = 0,8. Договоритесь с собой, что именно называете b₁: состояние «сейчас» или состояние «через один шаг».
Типичные ошибки — и как их обходить
Список не из учебника, а из тетрадей. По наблюдениям, одни и те же ходы повторяются из года в год, независимо от того, Мерзляк в классе или другой автор.
- Делят предыдущий член на следующий и получают 1/q вместо q.
- Путают геометрическую прогрессию с арифметической. Видят 2, 6, 18 и ищут разность d = 4, хотя уже третий член эту гипотезу ломает.
- Ставят степень n, а не n − 1. От первого до пятого — четыре шага, не пять.
- Извлекают чётный корень и оставляют только плюс. Для q² = 49 ответ ±7, пока условие не отсечёт знак.
- Теряют минус при делении отрицательных. (−54) / (−2) = 27, а не −27.
- Считают q по одной паре и не проверяют следующую.
- Подставляют q = 1 в формулу с (1 − q) в знаменателе и делят на ноль.
- В текстовой задаче берут процент как q, а не как 1 + p/100.
Восьмая ошибка вылезает на финансовых сюжетах. Множитель шага — 1 плюс доля прироста, если речь о росте, и 1 минус доля потери, если о спаде.
Как понять, что q найден правильно
Проверка короче решения, и её жалко пропускать.
- Восстановите два-три члена по найденному q и сравните с данными в условии. Хоть один не совпал — ищите, где съехал степень или знак.
- Если членов больше двух, посчитайте частное ещё на одной паре. Геометрическая прогрессия не позволяет «почти q».
- При двух корнях подставьте оба. Тот, что ломает знак или сумму из условия, вычёркивайте. Иногда проходят оба — тогда так и пишите.
Есть ещё быстрый сенсорный тест. Если |q| больше 1, модули должны расти. Если |q| меньше 1 — падать. Если q меньше 0 — знаки чередуются. Когда ответ q = 4, а в ряде 3, 12, 24, формула уже не спасёт: 24 / 12 = 2, не 4.
Калькулятор здесь не враг. Для корня четвёртой степени из 81 лучше нажать, чем гадать. После ответа 3 всё равно проверьте 3⁴ = 81 вручную. Калькулятор не знает, что вы могли иметь в виду ещё и −3.
Нули, «дыры» и подозрительные ряды
Ноль внутри ряда — красный флажок. Чтобы получить ноль, надо умножить ненулевой член на ноль, а q = 0 запрещён. Видите 5, 10, 0, 0 — это уже не та история. Ноль на старте тоже ломает определение. В школьном смысле нулей в геометрической прогрессии нет.
Начните с соседней пары. Нет соседних — выносите q из формулы n-го члена и следите за показателем. Вылез чётный корень — не выбрасывайте минус, пока условие само его не выбросит. Проверьте восстановлением двух членов. Этого набора хватает и на контрольную, и на тест, и на задачи, где прогрессию замаскировали бактериями или вкладом. Если q всё равно не лезет, ряд просто не геометрический. И это тоже ответ, только его надо обосновать разными частными двух пар.
