Как найти угол правильного многоугольника: формулы без путаницы

Кратко

• Внутренний угол правильного n-угольника: α = ((n − 2) × 180°) / n. Это угол между двумя соседними сторонами внутри фигуры.
• Внешний угол: γ = 360° / n. Сумма всех внешних углов любого простого многоугольника всегда равна 360°, а в правильном они ещё и равны.
• Центральный угол тоже 360° / n: между двумя радиусами к соседним вершинам, если многоугольник вписан в окружность.
• Внутренний и внешний при одной вершине смежные, поэтому α + γ = 180°. Отсюда удобная запись: α = 180° − 360°/n.
• Если угол известен, а нужно найти количество сторон: n = 360° / γ или n = 360° / (180° − α). Результат должен получиться целым числом, не меньшим 3.
• Для школьных фигур значения часто уже «сидят» в голове: треугольник 60°, квадрат 90°, пятиугольник 108°, шестиугольник 120°, восьмиугольник 135°.

Эти шесть пунктов покрывают почти все задачи школьной геометрии. Далее — откуда берутся формулы и где их легко перепутать.

Чтобы найти угол правильного многоугольника, сначала уточните, какой именно угол требуется. В задачах под словом «угол» скрывают три разные вещи: внутренний, внешний и центральный. Для правильного n-угольника внутренний считают по формуле ((n − 2) × 180°) / n, внешний и центральный — 360° разделить на количество сторон. Более короткий путь к внутреннему: найдите внешний и вычтите его из 180°.

Правильный многоугольник — выпуклая фигура, у которой все стороны равны и все внутренние углы равны. Равносторонний треугольник и квадрат тоже входят сюда, хотя мы привыкли называть их отдельно. Далее — пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник и так далее. Тема входит в курс геометрии 9 класса, но формулы нужны раньше: на ЕГЭ, на олимпиадах, в черчении. Даже когда смотрите на дорожный знак STOP или на шестигранную гайку.

На практике я постоянно вижу одну картину: ученик помнит «разделить 360 на n» и ставит это в ответ на любой вопрос об угле. Иногда попадает. Иногда нет. Разница между внутренним и внешним для восьмиугольника — 90 градусов, для пятиугольника — 36. Поэтому ниже — что есть что, затем формулы, затем задачи и типичные ошибки.

Какие углы ищут в правильном n-угольнике

Пока не нарисуете фигуру хотя бы схематично, формулы легко перепутать. На вершине встречаются две стороны. Угол между ними, направленный внутрь, — внутренний. Если одну из сторон продолжить за вершину, между этим продолжением и соседней стороной появится внешний угол. Он лежит снаружи и является смежным к внутреннему.

Есть ещё центральный. Его видно, когда из центра описанной окружности провести радиусы к двум соседним вершинам. Получите равнобедренный треугольник «центр — вершина — соседняя вершина». Угол при центре как раз и является центральным. Для правильной фигуры он численно совпадает с внешним, но геометрически это разные углы: один находится в центре, второй — у вершины снаружи.

• Внутренний угол — между двумя соседними сторонами внутри фигуры.
• Внешний угол — смежный к внутреннему, образуется продолжением стороны.
• Центральный угол — между радиусами к соседним вершинам.
• Сумма внутренних зависит от n и растёт вместе с количеством сторон.
• Сумма внешних всегда 360°, независимо от n.

Последний пункт многих удивляет. Треугольник, десятиугольник, стоугольник — обойдите фигуру вокруг, на каждой вершине «повернитесь» на внешний угол, и полный оборот будет ровно 360°. Это не зависит от того, правильный многоугольник или нет. Правильность даёт лишь равенство всех этих поворотов между собой.

Внутренний угол: главная формула

Формула внутреннего угла правильного многоугольника выглядит так:

α = ((n − 2) × 180°) / n

Здесь n — количество сторон, оно же количество вершин. Числитель — сумма всех внутренних углов. Знаменатель делит эту сумму поровну, потому что в правильной фигуре все углы одинаковы. Ту же формулу записывают как α = 180° × (n − 2) / n или как α = 180° − 360°/n: один факт в трёх записях.

Откуда берётся (n − 2) × 180°

Любой простой n-угольник можно разрезать диагоналями из одной вершины на треугольники. Из одной вершины ко всем несоседним идут n − 3 диагонали, и они делят фигуру на n − 2 треугольника. Сумма углов каждого — 180°. Следовательно, сумма внутренних углов многоугольника: (n − 2) × 180°.

Для треугольника n − 2 = 1, сумма 180°. Для четырёхугольника — два треугольника, 360°. Для пятиугольника — три, 540°. Далее по той же логике.

Эта сумма работает для любого простого многоугольника, не только правильного. Правильность нужна на следующем шаге: делим сумму на n и получаем один угол. Если фигура неравносторонняя, углы разные, и «среднее» никому не поможет. Именно поэтому в условии почти всегда написано «правильный».

• Треугольник: 60°.
• Квадрат: 90°.
• Пятиугольник: 108°.
• Шестиугольник: 120°.
• Восьмиугольник: 135°.

Остальные значения удобнее смотреть в таблице ниже. На самостоятельных эти пять спрашивают постоянно, и калькулятор здесь скорее мешает: пока нажимаете скобки, можно ошибиться в порядке действий. По наблюдениям, шестиугольник дети вспоминают лучше всего — пчелиные соты делают своё дело. Восьмиугольник и пятиугольник уже «плывут», хотя считаются не сложнее.

Вторая запись, которой удобнее пользоваться

α = 180° − 360°/n. Логика проста: внешний угол правильного n-угольника равен 360°/n, а внутренний с ним смежный. Смежные углы дают 180°. Мне эта запись больше по душе, когда n большое.

Для 24-угольника внешний 15°, внутренний 165°. Быстрее, чем умножать (24 − 2) на 180 и делить на 24. Результат тот же: 3960 / 24 = 165.

Когда n растёт, внутренний угол подползает к 180°, но никогда его не достигает. Правильный стоугольник уже почти «круглый» на глаз, угол 176,4°. Окружность многоугольником не становится. Формула из украинской Википедии записывает тот же внутренний угол и в радианах: (n − 2)π / n. Для школы градусов обычно достаточно.

Внешний угол: самый короткий путь

Если в задаче просят внешний угол правильного многоугольника, формула короче всех остальных:

γ = 360° / n

Сумма внешних углов простого многоугольника всегда 360°. В правильном они равны, поэтому делим поровну. BBC Bitesize подаёт это именно так: один внешний угол = 360 ÷ n. Никаких (n − 2) здесь нет, и это хорошо: меньше шансов запутаться в скобках.

Для выпуклой фигуры внешний угол всегда меньше 180°. У правильного треугольника он 120°, у квадрата 90°, у пятиугольника 72°, у шестиугольника 60°, у восьмиугольника 45°. Чем больше сторон, тем мельче «поворот» на вершине. Интуиция совпадает с рисунком: многоугольник становится ближе к окружности, и на каждой вершине нужно поворачиваться совсем немного.

• Проверьте, что фигура правильная. Иначе внешние углы разные, хотя сумма остаётся 360°.
• Делите 360 на количество сторон, не на количество диагоналей и не на n − 2.
• Если получилось не целое — ничего страшного. Для семиугольника внешний угол 360/7 ≈ 51,43°.
• Внутренний тогда 180 − 360/7 ≈ 128,57°. Оба часто оставляют в виде дроби 360/7 и 900/7.

Дробь лучше не округлять, пока этого не просят. В ответе «примерно 128,6°» могут снять балл, если в учебнике принято 900°/7. Смотрите, как сформулировано условие: «найдите градусную меру» иногда допускает десятичную запись, «вычислите» — чаще точную дробь.

Центральный угол и как он связан с другими

Центральный угол правильного n-угольника — это 360° / n. Та же цифра, что и для внешнего, но геометрически он появляется иначе. Правильный многоугольник всегда можно вписать в окружность и описать вокруг окружности: центр один. Радиусы к соседним вершинам делят полную окружность на n равных секторов.

В школьных задачах его спрашивают реже, чем внутренний. Путаница как раз здесь: ученик видит «угол правильного многоугольника» и не понимает, это 108° у пятиугольника или 72°. 72° — внешний и центральный. 108° — внутренний.

В условии почти всегда есть подсказка: «внутренний», «при вершине», «центральный», «образованный радиусами». Если подсказки нет и отметка стоит у вершины внутри — это внутренний. Два радиуса от центра — центральный. Сторона продолжена за вершину — внешний.

• Центральный угол = внешний угол = 360° / n.
• Внутренний = 180° − центральный.
• Для типичной контрольной достаточно трёх чисел: 360/n, 180 − 360/n и сумма (n − 2)×180.

Рисунок спасает чаще, чем формула. Перед подстановкой n стоит ещё раз глянуть, где именно стоит дуга.

Готовая таблица для школьных фигур

Ниже собраны самые частые правильные многоугольники. Сумму внутренних углов я намеренно оставил отдельным столбцом: иногда спрашивают именно её, а не один угол. Внешний и центральный в таблице совпадают, поэтому столбец один.

Семиугольник — единственный в этом списке, где градусы не целые. Его любят ставить именно за это: проверить, не начнёте ли округлять раньше времени. Для остальных фигур ответ получается целым числом, и это хороший самоконтроль. Если для восьмиугольника у вас 132° или 140° — уже сигнал пересчитать.

Как найти количество сторон, если угол уже известен

Обратная задача встречается не реже прямой. Дали внутренний угол 150° — сколько сторон? Или внешний 24° — какой это многоугольник? Формулы просто переворачиваются.

n = 360° / γ

Если известен внешний угол, делите 360 на него. 360 / 24 = 15, это правильный пятнадцатиугольник. 360 / 72 = 5, пятиугольник. Результат должен быть целым числом ≥ 3. Если получилось 7,5 или 4,2 — либо угол посчитан не для правильной фигуры, либо вы взяли внутренний вместо внешнего.

Когда дают внутренний угол α, сначала найдите внешний: γ = 180° − α. Затем n = 360° / (180° − α). Для α = 150° внешний 30°, n = 12. Для α = 135° внешний 45°, n = 8. Можно решить и уравнение ((n − 2) × 180) / n = α, но через внешний быстрее.

1. Прочитайте, внутренний это угол или внешний. Без этого шага дальше нет смысла.
2. Если внутренний — вычтите из 180°, получите внешний.
3. Разделите 360° на внешний угол.
4. Проверьте, что n целое и не меньше 3.
5. Для самопроверки подставьте n обратно в формулу внутреннего угла.

Однажды на занятии ученик получил n = 2,5 и честно написал «правильный полутреугольник». Смешно, но показательно: калькулятор не подскажет, что угол взяли не тот. 2,5 сторон не существует. Если n не получается целым, возвращайтесь к условию. В девяти случаях из десяти там внутренний угол приняли за внешний или наоборот.

Несколько типичных задач с решением

Лучше один раз пройтись руками, чем ещё раз перечитать формулу. Ниже четыре сюжета, которые на контрольных повторяются почти дословно. Числа другие, логика та же.

Задача 1. Внутренний угол правильного восьмиугольника

Для n = 8 сумма внутренних: (8 − 2) × 180° = 1080°. Один угол: 1080° / 8 = 135°. Другим путём: внешний 360° / 8 = 45°, внутренний 180° − 45° = 135°. Оба пути должны сойтись. Если не сошлись — где-то потеряли скобки или вычли 8 из 180 вместо 2.

Задача 2. Внешний угол правильного десятиугольника

Сумма внутренних здесь даже не нужна. 360° / 10 = 36°. Если просят ещё и внутренний — 180° − 36° = 144°. Треугольник и квадрат мы «чувствуем», десятиугольник уже нет, поэтому проверка вторым способом не помешает: (10 − 2) × 180° / 10 = 144°.

Задача 3. Сколько сторон, если внутренний угол 165°

Внешний: 180° − 165° = 15°. Количество сторон: 360° / 15° = 24, то есть правильный 24-угольник. Подстановка обратно: ((24 − 2) × 180°) / 24 = 3960 / 24 = 165°. Сошлось. Такие «большие» n любят давать, чтобы вы не угадывали из таблицы, а считали.

Задача 4. Существует ли правильный многоугольник с внутренним углом 100°

Внешний был бы 80°. 360 / 80 = 4,5 — не целое. Следовательно, правильного многоугольника с внутренним углом 100° не существует. Количество сторон должно быть натуральным числом, не меньшим 3.

Угол 100° спокойно живёт в неравностороннем пятиугольнике, просто не в правильном. На практике именно этот тип вопросов сбивает более сильных учеников: они пишут n = 4,5 как ответ. Задача уже решена, как только вы увидели нецелое.

Где обычно ошибаются

Ошибки на этой теме редко бывают «не знал формулу». Чаще — взяли не ту, или n подставили не туда. Короткий список того, что я вижу каждый год.

• 360° / n выдают за внутренний угол. Для квадрата случайно сработает (90° и там, и там), для остальных — нет.
• Сумма внутренних (n − 2) × 180° воспринимается как один угол. Для шестиугольника пишут 720° вместо 120°.
• В числителе ставят n, а не n − 2. Или n − 1, «потому что диагоналей столько». Диагоналей из одной вершины n − 3, треугольников n − 2. Это разные числа.
• Забывают, что формула одного угла работает только для правильного многоугольника. Для произвольного ромба или равнобочной трапеции внутренние углы считают иначе.
• Путают семиугольник с восьмиугольником на рисунке и подставляют не то n. Считать стороны на чертеже стоит дважды, особенно когда фигура почти круглая.
• Округляют 900/7 до 129° без разрешения условия, а потом обратная задача даёт «кривое» n.

Отдельно о знаках градуса. Пишите 135°, не просто 135. Внутренний угол правильного многоугольника всегда больше 60° и меньше 180°. Если в ответе 45° на вопрос «внутренний угол восьмиугольника» — вы посчитали внешний.

45° внутренним в правильной фигуре не бывает: наименьший внутренний — 60° у треугольника. Звёздчатые многоугольники вроде пентаграммы школьная формула не покрывает. Если в задачнике не нарисовали звезду, работайте с выпуклой формулой и не усложняйте.

Какую формулу брать в какой задаче

Чтобы не держать в голове всё сразу, удобно иметь маленькое правило выбора. Оно не заменяет понимание, но на контрольной экономит минуту. Смотрите строку, которая совпадает с условием, и не прыгайте между формулами.

Последняя строка звучит банально, и всё же. На рисунке правильного двенадцатиугольника стороны легко сбить со счёта. Я сам когда-то на репетиции олимпиады посчитал 11, подставил, получил «красивое» нецелое и минут пять искал, где сломалась формула. Формула была жива. Не досчитал одну чёрточку.

Поэтому перед алгеброй — карандаш по контуру, лучше с пометками на уже посчитанных сторонах. Для неравносторонних фигур таблица выше не работает: там нужны смежные углы и параллельные прямые. Если в условии есть слово «правильный», не рисуйте лишних высот и не ищите тангенсов, пока вас об этом прямо не попросили.

Где эти углы встречаются вне тетради

Шестиугольник у пчёл имеет внутренний угол 120°: три таких угла складываются в 360°, плоскость замощается без щелей. Квадрат и равносторонний треугольник тоже замощают плоскость. Пятиугольник — нет: 108 × 3 = 324, не хватает до оборота. Восьмиугольник знаком со знака STOP, там 135°.

Если нужно разложить n равных секторов по окружности или начертить правильный многоугольник в окружности, берите центральный угол 360/n, не внутренний. Пятиугольник с центральным 108° получается кривым, потому что транспортир в центре ждёт 72°. Эта мелочь портит чертежи чаще, чем кажется.

Если нужно сейчас решить конкретное упражнение, алгоритм короткий. Прочитайте, какой угол спрашивают. Посчитайте n. Для внешнего или центрального разделите 360 на n. Для внутреннего вычтите этот результат из 180, или разделите (n − 2)×180 на n.

Сошлись два способа — можно сдавать. Не сошлись — ищите арифметику, не новую формулу. Для семиугольника оставьте ответ дробью: внешний 360/7, внутренний 900/7. Это как раз показывает, что вы поняли механику, а не угадали число из таблицы.