Як знайти кут правильного многокутника: формули без плутанини

Коротко

• Внутрішній кут правильного n-кутника: α = ((n − 2) × 180°) / n. Це кут між двома сусідніми сторонами всередині фігури.
• Зовнішній кут: γ = 360° / n. Сума всіх зовнішніх кутів будь-якого простого многокутника завжди 360°, а в правильному вони ще й рівні.
• Центральний кут теж 360° / n: між двома радіусами до сусідніх вершин, якщо многокутник вписано в коло.
• Внутрішній і зовнішній при одній вершині суміжні, тому α + γ = 180°. Звідси зручний запис: α = 180° − 360°/n.
• Якщо кут відомий, а треба кількість сторін: n = 360° / γ або n = 360° / (180° − α). Результат має вийти цілим числом, не меншим за 3.
• Для шкільних фігур значення часто вже «сидять» у голові: трикутник 60°, квадрат 90°, п’ятикутник 108°, шестикутник 120°, восьмикутник 135°.

Ці шість пунктів покривають майже всі задачі зі шкільної геометрії. Далі — звідки формули беруться і де їх легко переплутати.

Щоб знайти кут правильного многокутника, спершу уточніть, який саме кут просять. У задачах під словом «кут» ховають три різні речі: внутрішній, зовнішній і центральний. Для правильного n-кутника внутрішній рахують за формулою ((n − 2) × 180°) / n, зовнішній і центральний — 360° поділити на кількість сторін. Коротший шлях до внутрішнього: знайдіть зовнішній і відніміть його від 180°.

Правильний многокутник — опукла фігура, у якої всі сторони рівні і всі внутрішні кути рівні. Рівносторонній трикутник і квадрат теж сюди входять, хоч ми звикли називати їх окремо. Далі — п’ятикутник, шестикутник, восьмикутник і так далі. Тема сидить у курсі геометрії 9 класу, але формули потрібні раніше: на ЗНО, на олімпіадах, у кресленні. Навіть коли дивитесь на дорожній знак STOP або на шестигранну гайку.

У практиці я постійно бачу одну картину: учень пам’ятає «поділити 360 на n» і ставить це як відповідь на будь-яке питання про кут. Інколи влучає. Інколи ні. Різниця між внутрішнім і зовнішнім для восьмикутника — 90 градусів, для п’ятикутника — 36. Тому нижче — що є що, потім формули, потім задачі і типові помилки.

Які кути шукають у правильному n-кутнику

Поки не намалюєте фігуру хоча б схематично, формули легко переплутати. На вершині зустрічаються дві сторони. Кут між ними, спрямований усередину, — внутрішній. Якщо одну зі сторін продовжити за вершину, між цим продовженням і сусідньою стороною з’явиться зовнішній кут. Він лежить зовні і є суміжним до внутрішнього.

Є ще центральний. Його видно, коли з центра описаного кола провести радіуси до двох сусідніх вершин. Отримаєте рівнобедрений трикутник «центр — вершина — сусідня вершина». Кут при центрі якраз і є центральним. Для правильної фігури він чисельно збігається із зовнішнім, але геометрично це різні кути: один сидить у центрі, другий — біля вершини зовні.

• Внутрішній кут — між двома сусідніми сторонами всередині фігури.
• Зовнішній кут — суміжний до внутрішнього, утворюється продовженням сторони.
• Центральний кут — між радіусами до сусідніх вершин.
• Сума внутрішніх залежить від n і росте разом із кількістю сторін.
• Сума зовнішніх завжди 360°, незалежно від n.

Останній пункт багатьох дивує. Трикутник, десятикутник, стокутник — обійдіть фігуру навколо, на кожній вершині «поверніться» на зовнішній кут, і повний оберт буде рівно 360°. Це не залежить від того, правильний многокутник чи ні. Правильність дає лише рівність усіх цих поворотів між собою.

Внутрішній кут: головна формула

Формула внутрішнього кута правильного многокутника виглядає так:

α = ((n − 2) × 180°) / n

Тут n — кількість сторін, вона ж кількість вершин. Чисельник — сума всіх внутрішніх кутів. Знаменник ділить цю суму порівну, бо в правильній фігурі всі кути однакові. Ту саму формулу записують як α = 180° × (n − 2) / n або як α = 180° − 360°/n: один факт у трьох записах.

Звідки береться (n − 2) × 180°

Будь-який простий n-кутник можна розрізати діагоналями з однієї вершини на трикутники. З однієї вершини до всіх несусідніх іде n − 3 діагоналі, і вони ділять фігуру на n − 2 трикутники. Сума кутів кожного — 180°. Отже, сума внутрішніх кутів многокутника: (n − 2) × 180°.

Для трикутника n − 2 = 1, сума 180°. Для чотирикутника — два трикутники, 360°. Для п’ятикутника — три, 540°. Далі за тією ж логікою.

Ця сума працює для будь-якого простого многокутника, не лише правильного. Правильність потрібна в наступному кроці: ділимо суму на n і отримуємо один кут. Якщо фігура нерівностороння, кути різні, і «середнє» нікому не допоможе. Саме тому в умові майже завжди написано «правильний».

• Трикутник: 60°.
• Квадрат: 90°.
• П’ятикутник: 108°.
• Шестикутник: 120°.
• Восьмикутник: 135°.

Решту значень зручніше дивитись у таблиці нижче. На самостійних ці п’ять питають постійно, і калькулятор тут радше заважає: поки натискаєте дужки, можна помилитись у порядку дій. За спостереженнями, шестикутник діти згадують найкраще — бджолині стільники роблять свою справу. Восьмикутник і п’ятикутник уже «пливуть», хоча рахуються не складніше.

Другий запис, яким зручніше користуватись

α = 180° − 360°/n. Логіка проста: зовнішній кут правильного n-кутника дорівнює 360°/n, а внутрішній із ним суміжний. Суміжні кути дають 180°. Мені цей запис більше до смаку, коли n велике.

Для 24-кутника зовнішній 15°, внутрішній 165°. Швидше, ніж множити (24 − 2) на 180 і ділити на 24. Результат той самий: 3960 / 24 = 165.

Коли n зростає, внутрішній кут підповзає до 180°, але ніколи його не досягає. Правильний стокутник уже майже «круглий» на око, кут 176,4°. Коло многокутником не стає. Формула з української Вікіпедії записує той самий внутрішній кут і в радіанах: (n − 2)π / n. Для школи градуси зазвичай достатні.

Зовнішній кут: найкоротший шлях

Якщо в задачі просять зовнішній кут правильного многокутника, формула коротша за всі інші:

γ = 360° / n

Сума зовнішніх кутів простого многокутника завжди 360°. У правильному вони рівні, тож ділимо порівну. BBC Bitesize подає це саме так: один зовнішній кут = 360 ÷ n. Ніяких (n − 2) тут немає, і це добре: менше шансів заплутатись у дужках.

Для опуклої фігури зовнішній кут завжди менший за 180°. У правильного трикутника він 120°, у квадрата 90°, у п’ятикутника 72°, у шестикутника 60°, у восьмикутника 45°. Чим більше сторін, тим дрібніший «поворот» на вершині. Інтуїція збігається з малюнком: багатокутник стає ближчим до кола, і на кожній вершині треба повертатись зовсім трохи.

• Перевірте, що фігура правильна. Інакше зовнішні кути різні, хоч сума лишається 360°.
• Діліть 360 на кількість сторін, не на кількість діагоналей і не на n − 2.
• Якщо вийшло не ціле — нічого страшного. Для семикутника зовнішній кут 360/7 ≈ 51,43°.
• Внутрішній тоді 180 − 360/7 ≈ 128,57°. Обидва часто залишають у вигляді дробу 360/7 і 900/7.

Дріб краще не заокруглювати, поки цього не просять. У відповіді «приблизно 128,6°» можуть зняти бал, якщо в підручнику прийнято 900°/7. Дивіться, як сформульовано умову: «знайдіть градусну міру» інколи дозволяє десятковий запис, «обчисліть» — частіше точний дріб.

Центральний кут і як він пов’язаний з іншими

Центральний кут правильного n-кутника — це 360° / n. Та сама цифра, що й для зовнішнього, але геометрично він з’являється інакше. Правильний многокутник завжди можна вписати в коло і описати навколо кола: центр один. Радіуси до сусідніх вершин ділять повне коло на n рівних секторів.

У шкільних задачах його питають рідше, ніж внутрішній. Плутанина якраз тут: учень бачить «кут правильного многокутника» і не розуміє, чи це 108° у п’ятикутника, чи 72°. 72° — зовнішній і центральний. 108° — внутрішній.

В умові майже завжди є підказка: «внутрішній», «при вершині», «центральний», «утворений радіусами». Якщо підказки немає і позначка стоїть біля вершини всередині — це внутрішній. Два радіуси від центра — центральний. Сторона продовжена за вершину — зовнішній.

• Центральний кут = зовнішній кут = 360° / n.
• Внутрішній = 180° − центральний.
• Для типової контрольної вистачає трьох чисел: 360/n, 180 − 360/n і сума (n − 2)×180.

Малюнок рятує частіше, ніж формула. Перед підстановкою n варто ще раз глянути, де саме стоїть дуга.

Готова таблиця для шкільних фігур

Нижче зібрані найчастіші правильні многокутники. Суму внутрішніх кутів я навмисне залишив окремим стовпцем: інколи питають саме її, а не один кут. Зовнішній і центральний у таблиці збігаються, тож стовпець один.

Семикутник — єдиний у цьому списку, де градуси не цілі. Його люблять ставити саме за це: перевірити, чи не почнете заокруглювати раніше часу. Для решти фігур відповідь виходить цілим числом, і це хороший самоконтроль. Якщо для восьмикутника у вас 132° або 140° — уже сигнал перерахувати.

Як знайти кількість сторін, якщо кут уже відомий

Зворотна задача трапляється не рідше прямої. Дали внутрішній кут 150° — скільки сторін? Або зовнішній 24° — який це многокутник? Формули просто перевертаються.

n = 360° / γ

Якщо відомий зовнішній кут, ділите 360 на нього. 360 / 24 = 15, це правильний п’ятнадцятикутник. 360 / 72 = 5, п’ятикутник. Результат має бути цілим числом ≥ 3. Якщо вийшло 7,5 або 4,2 — або кут порахований не для правильної фігури, або ви взяли внутрішній замість зовнішнього.

Коли дають внутрішній кут α, спочатку знайдіть зовнішній: γ = 180° − α. Потім n = 360° / (180° − α). Для α = 150° зовнішній 30°, n = 12. Для α = 135° зовнішній 45°, n = 8. Можна розв’язати й рівняння ((n − 2) × 180) / n = α, але через зовнішній швидше.

1. Прочитайте, внутрішній це кут чи зовнішній. Без цього кроку далі немає сенсу.
2. Якщо внутрішній — відніміть від 180°, отримаєте зовнішній.
3. Поділіть 360° на зовнішній кут.
4. Перевірте, що n ціле і не менше 3.
5. Для самоперевірки підставте n назад у формулу внутрішнього кута.

Якось на занятті учень отримав n = 2,5 і чесно написав «правильний півтрикутник». Смішно, але показово: калькулятор не підкаже, що кут узяли не той. 2,5 сторін не існує. Якщо n не вилазить цілим, повертайтесь до умови. У дев’яти випадках з десяти там внутрішній кут прийняли за зовнішній або навпаки.

Кілька типових задач із розв’язанням

Краще один раз пройтися руками, ніж ще раз перечитати формулу. Нижче чотири сюжети, які на контрольних повторюються майже дослівно. Числа інші, логіка та сама.

Задача 1. Внутрішній кут правильного восьмикутника

Для n = 8 сума внутрішніх: (8 − 2) × 180° = 1080°. Один кут: 1080° / 8 = 135°. Іншим шляхом: зовнішній 360° / 8 = 45°, внутрішній 180° − 45° = 135°. Обидва шляхи мають зійтись. Якщо не зійшлись — десь загубили дужки або відняли 8 від 180 замість 2.

Задача 2. Зовнішній кут правильного десятикутника

Сума внутрішніх тут навіть не потрібна. 360° / 10 = 36°. Якщо просять ще й внутрішній — 180° − 36° = 144°. Трикутник і квадрат ми «відчуваємо», десятикутник уже ні, тож перевірка другим способом не завадить: (10 − 2) × 180° / 10 = 144°.

Задача 3. Скільки сторін, якщо внутрішній кут 165°

Зовнішній: 180° − 165° = 15°. Кількість сторін: 360° / 15° = 24, тобто правильний 24-кутник. Підстановка назад: ((24 − 2) × 180°) / 24 = 3960 / 24 = 165°. Зійшлося. Такі «великі» n люблять давати, щоб ви не вгадували з таблиці, а рахували.

Задача 4. Чи існує правильний многокутник з внутрішнім кутом 100°

Зовнішній був би 80°. 360 / 80 = 4,5 — не ціле. Отже, правильного многокутника з внутрішнім кутом 100° не існує. Кількість сторін має бути натуральним числом, не меншим за 3.

Кут 100° спокійно живе в нерівносторонньому п’ятикутнику, просто не в правильному. У практиці саме цей тип питань збиває сильніших учнів: вони пишуть n = 4,5 як відповідь. Задача вже розв’язана, щойно ви побачили неціле.

Де зазвичай помиляються

Помилки на цій темі рідко бувають «не знав формулу». Частіше — узяли не ту, або n підставили не туди. Короткий список того, що я бачу щороку.

• 360° / n видають за внутрішній кут. Для квадрата випадково спрацює (90° і там, і там), для решти — ні.
• Сума внутрішніх (n − 2) × 180° сприймається як один кут. Для шестикутника пишуть 720° замість 120°.
• У чисельнику ставлять n, а не n − 2. Або n − 1, «бо діагоналей стільки». Діагоналей з однієї вершини n − 3, трикутників n − 2. Це різні числа.
• Забувають, що формула одного кута працює лише для правильного многокутника. Для довільного ромба чи рівнобічної трапеції внутрішні кути рахують інакше.
• Плутають семикутник із восьмикутником на малюнку і підставляють не те n. Лічити сторони на кресленні варто двічі, особливо коли фігура майже кругла.
• Заокруглюють 900/7 до 129° без дозволу умови, а потім зворотна задача дає «криве» n.

Окремо про знаки градуса. Пишіть 135°, не просто 135. Внутрішній кут правильного многокутника завжди більший за 60° і менший за 180°. Якщо у відповіді 45° на питання «внутрішній кут восьмикутника» — ви порахували зовнішній.

45° внутрішнім у правильній фігурі не буває: найменший внутрішній — 60° у трикутника. Зірчасті многокутники на кшталт пентаграми шкільна формула не покриває. Якщо в задачнику не намалювали зірку, працюйте з опуклою формулою і не ускладнюйте.

Яку формулу брати в якій задачі

Щоб не тримати в голові все одразу, зручно мати маленьке правило вибору. Воно не замінює розуміння, але на контрольній економить хвилину. Дивіться рядок, який збігається з умовою, і не стрибайте між формулами.

Останній рядок звучить банально, і все ж. На малюнку правильного дванадцятикутника сторони легко збити з ліку. Я сам колись на репетиції олімпіади порахував 11, підставив, отримав «гарне» неціле і хвилин п’ять шукав, де зламалась формула. Формула була жива. Не долічив одну рисочку.

Тому перед алгеброю — олівець по контуру, краще з позначками на вже порахованих сторонах. Для нерівносторонніх фігур таблиця вище не працює: там потрібні суміжні кути і паралельні прямі. Якщо в умові є слово «правильний», не малюйте зайвих висот і не шукайте тангенсів, поки вас про це прямо не попросили.

Де ці кути зустрічаються поза зошитом

Шестикутник у бджіл має внутрішній кут 120°: три такі кути складаються в 360°, площина замощується без щілин. Квадрат і рівносторонній трикутник теж замощують площину. П’ятикутник — ні: 108 × 3 = 324, не вистачає до оберту. Восьмикутник знайомий зі знака STOP, там 135°.

Якщо треба розкласти n рівних секторів по колу або накреслити правильний многокутник у колі, беріть центральний кут 360/n, не внутрішній. П’ятикутник із центральним 108° виходить кривим, бо транспортир у центрі чекає 72°. Ця дрібниця псує креслення частіше, ніж здається.

Якщо треба зараз розв’язати конкретну вправу, алгоритм короткий. Прочитайте, який кут питають. Полічіть n. Для зовнішнього чи центрального поділіть 360 на n. Для внутрішнього відніміть цей результат від 180, або поділіть (n − 2)×180 на n.

Зійшлись два способи — можна здавати. Не зійшлись — шукайте арифметику, не нову формулу. Для семикутника залиште відповідь дробом: зовнішній 360/7, внутрішній 900/7. Це якраз показує, що ви зрозуміли механіку, а не вгадали число з таблиці.