Коротко
- Знаменник q — стале число, на яке множать кожен член, щоб отримати наступний. Його шукають як частку будь-якого члена і попереднього: q = bₙ / bₙ₋₁.
- Якщо відомі перший і n-й члени, працює q = (bₙ / b₁)^(1/(n−1)). Для не сусідніх — q = (bₙ / bₘ)^(1/(n−m)).
- Знаменник не може дорівнювати нулю. Нульових членів у шкільному означенні теж немає: інакше відношення не визначити.
- Від’ємний q дає знакозмінний ряд. Корінь парного степеня дає двох кандидатів — плюс і мінус; знак перевіряють по членах.
- Після обчислення проженіть хоча б дві пари сусідів. Різні частки означають, що це вже не геометрична прогресія.
- У задачах q часто ховають за сумою, пропущеним членом або текстом про відсотки. Тоді складають рівняння з формули n-го члена, а не ділять навмання.
Цих шести пунктів вистачить, щоб не розгубитися на контрольній. Далі — кожен спосіб з цифрами і типовими помилками.
Щоб знайти знаменник геометричної прогресії, поділіть будь-який її член на попередній. Формула коротка: q = bₙ / bₙ₋₁. Немає сусідів, а є перший і п’ятий — підставляєте їх у bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ і витягуєте корінь. Ось механіка дев’ятого класу. За досвідом репетиторства далі все сиплеться не на формулі, а на виборі, яку саме застосувати.
Що таке знаменник і навіщо він потрібен
Геометрична прогресія — послідовність, у якій кожен наступний член отримують множенням попереднього на одне й те саме число. Це число і є знаменником. У підручниках його позначають літерою q, члени — b₁, b₂, …, bₙ. Арифметичну прогресію пишуть через aₙ і різницю d, тож літери краще не плутати.
Ряд 3, 6, 12, 24, 48. Кожне число вдвічі більше за попереднє, q = 2. Або 81, 27, 9, 3, 1 — тут множимо на 1/3. Або 5, −10, 20, −40: знаки чергуються, модуль подвоюється, q = −2. Три різні картини, одна ідея: стале відношення сусідів.
- q більше 1 — члени зростають за модулем, ряд «розганяється».
- q між 0 і 1 — члени зменшуються, знак зберігається, якщо старт додатний.
- q = 1 — усі члени однакові. Формально це теж геометрична прогресія, стаціонарна.
- q = −1 — строге чергування: b₁, −b₁, b₁, −b₁, …
- q менше 0 — знакозмінний ряд, модуль залежить від |q|.
Нуль як знаменник заборонений. Помножили на нуль — далі суцільні нулі, а відношення вже не має сенсу. В означенні, яке фіксує Вікіпедія, прямо сказано: перший член не нуль, знаменник — стале ненульове число.
Навіщо вміти рахувати q? Бо це єдиний двигун послідовності. Знаєте q і b₁ — знаєте будь-який член і суму. Не знаєте q — далі нічого не зберете, хоч скільки чисел намалюють.
Спосіб 1. Два сусідні члени
Найкоротший шлях. Є два члени підряд — ділите наступний на попередній. Не «більше число на менше», а член із більшим індексом на член із меншим. Якщо q від’ємний, наступний за модулем може бути і меншим, тож орієнтуйтесь на номери, не на величину.
Формула: q = bₙ / bₙ₋₁ = bₙ₊₁ / bₙ. Працює для будь-якої пари сусідів. Якщо ряд геометричний, усі такі частки збігаються. Це одночасно і спосіб знайти q, і спосіб перевірити, чи перед вами не арифметичний ряд і не випадковий набір.
Приклад з цілими числами
Дано: 2, 6, 18, 54. Рахуємо 6 / 2 = 3, 18 / 6 = 3, 54 / 18 = 3. Усі частки однакові, q = 3. Я раджу перевірити дві пари, не одну. У практиці бачив роботи, де учень поділив 6 на 2, отримав 3 і пішов далі, а третій член у умові був 20. Прогресія вже зламалась.
Приклад із дробом і мінусом
Дано: 16, −8, 4, −2. Маємо (−8) / 16 = −1/2. Контроль: 4 / (−8) = −1/2, потім (−2) / 4 = −1/2. Знаменник q = −1/2. Тут легко загубити мінус на першому кроці. Далі ряд «не зійдеться», і ви почнете шукати помилку в арифметиці, якої немає.
- Діліть член із більшим індексом на член із меншим.
- Не скорочуйте мінуси на око, поки не записали дріб.
- Якщо дали три і більше члени — перевірте дві різні пари.
- Частки різні? Зупиніться. Це не геометрична прогресія.
Цей спосіб закриває більшість вправ, де ряд уже виписаний. Складніше починається, коли сусідів немає.
Спосіб 2. Перший і n-й член
Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Звідси q = (bₙ / b₁)^(1/(n−1)). Показник — кількість кроків між першим і n-м, тобто n − 1, не n. Класична пастка: учень ставить n у степінь і дивується, чому відповідь не ціла.
Приклад. b₁ = 5, b₅ = 405. Тоді 405 = 5 · q⁴, q⁴ = 81, q = ±3. Розвилка. Якщо в умові не сказано, що всі члени додатні, формально підходять обидва. q = 3 дає 5, 15, 45, 135, 405. q = −3 дає 5, −15, 45, −135, 405. П’ятий член той самий, бо степінь парний. Без додаткової умови — знак другого члена, сума, «прогресія зростає» — обидві відповіді живі. На тестах інколи чекають лише плюс, інколи обидва. Читайте умову до кінця, не лише числа.
Ще приклад, уже без двозначності. b₁ = 1944, b₄ = 576. Маємо 576 = 1944 · q³, q³ = 576 / 1944 = 8 / 27, q = 2/3. Степінь непарний — від’ємного двійника в дійсних числах немає, якщо основа додатна. Зручно, менше мороки.
Спосіб 3. Два будь-які, не обов’язково сусідні
Загальний випадок. Відомі bₘ і bₙ, n більше m. Записуємо обидва через b₁ і q, ділимо — b₁ скорочується, лишається q^(n−m) = bₙ / bₘ. Звідси q = (bₙ / bₘ)^(1/(n−m)). Та сама ідея, що у способі 2, просто старт не з першого члена.
Класика зі збірників: b₆ = −1/9, b₉ = 24. Ділимо: 24 / (−1/9) = −216. Показник 9 − 6 = 3, отже q³ = −216, q = −6. Мінус не прилітає з неба: він уже сидів у частці, непарний корінь його зберіг. Якби індекси різнилися на парне число, від’ємна частка в дійсних числах розв’язку б не дала. І це теж відповідь, яку треба вміти пояснити, а не панічно шукати арифметичну помилку.
- Запишіть обидва члени через b₁ і q.
- Поділіть член із більшим номером на член із меншим.
- Показник степеня дорівнює різниці індексів.
- Подивіться на парність показника і знак частки — від цього залежить кількість коренів.
У практиці цей спосіб рятує, коли в умові дірка: дали третій і сьомий, а першого немає і не просять. Не треба відновлювати весь ряд, якщо питають лише q.
Як знайти q за трьома послідовними членами
Властивість: квадрат середнього дорівнює добутку сусідніх. Тобто bₖ² = bₖ₋₁ · bₖ₊₁. Це не окрема магічна формула для q, а критерій. Рівність не виконується — прогресія не геометрична. Виконується — знаменник усе одно рахуєте як bₖ / bₖ₋₁.
Навіщо тоді властивість? Щоб знаходити пропущений середній член. Приклад: 4, x, 36. Тоді x² = 4 · 36 = 144, x = ±12. Якщо x = 12, q = 3. Якщо x = −12, q = −3. Два легальні ряди: 4, 12, 36 і 4, −12, 36. Умова «усі члени додатні» відсікає другий. Якщо три числа задовольняють b² = ac, для задачі «вставте число» цього критерію вистачає.
Коли замість членів дана сума
Суму перших n членів рахують так: Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q) при q ≠ 1. Якщо q = 1, просто Sₙ = n · b₁. Інший запис тієї ж формули: Sₙ = (bₙ · q − b₁) / (q − 1). Яку писати — справа смаку, результат один.
Знайти q із самої лише суми не вийде: занадто багато невідомих. Потрібна ще хоч одна величина — b₁, якийсь член, інша сума. Типова конструкція: відомі Sₙ і S₂ₙ, або S₃ і перший член. Складаєте рівняння відносно q. Часто воно зводиться до квадратного.
Ескіз. Нехай b₁ = 2, S₃ = 14. Тоді 2 · (1 − q³) / (1 − q) = 14. Пам’ятаємо, що 1 − q³ = (1 − q)(1 + q + q²), при q ≠ 1 скорочується, лишається 2(1 + q + q²) = 14, q² + q − 6 = 0. Корені 2 і −3. Перевірка: q = 2 дає 2 + 4 + 8 = 14. q = −3 дає 2 − 6 + 18 = 14. Знову два сюжети. Якщо в умові «усі члени додатні», −3 відпадає.
Для нескінченної спадної прогресії, коли |q| менше 1, сума всіх членів S = b₁ / (1 − q). Звідси q = 1 − b₁ / S. Формулу люблять у задачах на періодичні десяткові дроби.
Додатний, від’ємний і дробовий знаменник
Тип q змінює не формулу, а поведінку ряду і кількість коренів.
| Знаменник q | Як виглядає ряд | На що зважати, шукаючи q |
|---|---|---|
| q більше 1 | Члени ростуть, знаки стабільні, якщо b₁ додатний | Корінь парного степеня дає ще й від’ємного двійника — його треба окремо прийняти або відкинути |
| q між 0 і 1 | Члени зменшуються, лишаються того ж знака | Легко сплутати з арифметичною «віднімалкою». Перевіряйте частку, не різницю |
| q = 1 | Усі члени рівні | Формула суми з (1 − q) у знаменнику не працює, рахуєте n · b₁ |
| q = −1 | Чергування двох протилежних чисел | Сума парної кількості членів дорівнює нулю, непарної — b₁ |
| q менше 0, |q| ≠ 1 | Знаки скачуть, модуль росте або падає | Парний степінь ховає мінус, непарний його показує |
Найпідступніший рядок — останній. Помічав таке: учень правильно знаходить |q|, ставить плюс «бо корінь» і отримує ряд, який не проходить через даний від’ємний член. Модуль збігся, знаки — ні. Половина балів зникає на рівному місці.
Окремо про q між −1 і 0, скажімо q = −1/2. Модуль меншає, знаки чергуються: 16, −8, 4, −2, 1. Для нескінченної суми |q| менше 1 виконується: S = 16 / (1 + 1/2) = 32/3.
Порівняння способів: що брати в якій задачі
Щоб не перебирати формули навмання, зведімо їх до пам’ятки.
| Що відомо | Яка формула | Де зазвичай ламається |
|---|---|---|
| Два сусідні члени | q = bₙ / bₙ₋₁ | Ділять навпаки або ігнорують знак |
| b₁ і bₙ | q = (bₙ / b₁)^(1/(n−1)) | Ставлять степінь n замість n − 1 |
| bₘ і bₙ | q = (bₙ / bₘ)^(1/(n−m)) | Плутають різницю індексів; забувають про два корені |
| Три числа підряд, середнє невідоме | bₖ² = bₖ₋₁ · bₖ₊₁, далі q як частка | Гублять від’ємний корінь для середнього члена |
| Сума і ще щось (b₁ або інша сума) | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | Забувають випадок q = 1 і скорочення 1 − qⁿ |
Якщо в умові є ряд із трьох і більше чисел — починайте зі способу 1, він найдешевший за часом. Формули з коренями вмикайте, коли сусідів немає. Суму — лише коли без неї ніяк: рівняння довше, легше схибити в арифметиці.
Розв’язані задачі, які ставлять найчастіше
Чотири сюжети. Не олімпіадні — рівень підручника і типового тесту.
Задача 1. Ряд уже виписаний
Знайдіть знаменник прогресії 7, 21, 63, 189. Ділимо 21 / 7 = 3. Контроль: 63 / 21 = 3, 189 / 63 = 3. Відповідь: q = 3. Якщо в зошиті замість 189 з’явиться 198, частка попливе, і ви почнете вигадувати дріб.
Задача 2. Є перший і четвертий
b₁ = −2, b₄ = −54. За формулою −54 = −2 · q³, q³ = 27, q = 3. Знаки обох членів від’ємні, степінь непарний — мінуси скоротились. Ряд: −2, −6, −18, −54. Додатний знаменник і від’ємний старт — нормальна комбінація. Не ставте силоміць q = −3: тоді четвертий член вийшов би додатним.
Задача 3. Знаки скачуть
b₂ = 6, b₅ = −48. Маємо q³ = (−48) / 6 = −8, q = −2. Ряд від другого члена: 6, −12, 24, −48. Перший, якщо треба: b₁ = 6 / (−2) = −3. Повний початок: −3, 6, −12, 24, −48. Такі задачі люблять у тестах саме через мінус у відповіді. Стоїть собі серед варіантів «2», «−2», «8», «−8», і рука тягнеться до додатного.
Задача 4. Схована в тексті
Бактерія ділиться так, що кожні пів години кількість подвоюється. Зараз їх 500. Через скільки таких інтервалів стане 8000? Знаменник очевидний: q = 2. Далі 8000 = 500 · 2ⁿ⁻¹, 16 = 2ⁿ⁻¹, n − 1 = 4, n = 5. Чотири інтервали — дві години, якщо крок пів години. Текст лише маскує b₁ і q словами «зараз» і «подвоюється».
Те саме з банківським відсотком. Приріст 5% річних — це q = 1,05, не 0,05 і не 5. Вклали 1000 грн — через рік 1050, не 50. Знаменник множить увесь попередній член, це не «добавка зверху». З розпадом навпаки: втрата 20% маси щороку дає q = 0,8. Домовтеся з собою, що саме називаєте b₁: стан «зараз» чи стан «через один крок».
Типові помилки — і як їх обходити
Список не з підручника, а зі зошитів. За спостереженнями, одні й ті самі ходи повторюються з року в рік, незалежно від того, Мерзляк у класі чи інший автор.
- Ділять попередній член на наступний і отримують 1/q замість q.
- Плутають геометричну прогресію з арифметичною. Бачать 2, 6, 18 і шукають різницю d = 4, хоча вже третій член цю гіпотезу ламає.
- Ставлять степінь n, а не n − 1. Від першого до п’ятого — чотири кроки, не п’ять.
- Витягують парний корінь і залишають лише плюс. Для q² = 49 відповідь ±7, поки умова не відсіче знак.
- Гублять мінус при діленні від’ємних. (−54) / (−2) = 27, а не −27.
- Рахують q по одній парі і не перевіряють наступну.
- Підставляють q = 1 у формулу з (1 − q) у знаменнику і ділять на нуль.
- У текстовій задачі беруть відсоток як q, а не як 1 + p/100.
Восьма помилка вилізає на фінансових сюжетах. Множник кроку — 1 плюс частка приросту, якщо мова про зростання, і 1 мінус частка втрати, якщо про спад.
Як зрозуміти, що q знайдено правильно
Перевірка коротша за розв’язання, і її шкода пропускати.
- Відновіть два-три члени за знайденим q і порівняйте з даними в умові. Хоч один не збігся — шукайте, де з’їхав степінь або знак.
- Якщо членів більше двох, порахуйте частку ще на одній парі. Геометрична прогресія не дозволяє «майже q».
- При двох коренях підставте обидва. Той, що ламає знак або суму з умови, викреслюйте. Інколи проходять обидва — тоді так і пишіть.
Є ще швидкий сенсорний тест. Якщо |q| більше 1, модулі мають рости. Якщо |q| менше 1 — падати. Якщо q менше 0 — знаки чергуються. Коли відповідь q = 4, а в ряді 3, 12, 24, формула вже не врятує: 24 / 12 = 2, не 4.
Калькулятор тут не ворог. Для кореня четвертого степеня з 81 краще натиснути, ніж гадати. Після відповіді 3 все одно перевірте 3⁴ = 81 вручну. Калькулятор не знає, що ви могли мати на увазі ще й −3.
Нулі, «дірки» і підозрілі ряди
Нуль усередині ряду — червоний прапорець. Щоб отримати нуль, треба помножити ненульовий член на нуль, а q = 0 заборонений. Бачите 5, 10, 0, 0 — це вже не та історія. Нуль на старті теж ламає означення. У шкільному сенсі нулів у геометричній прогресії немає.
Почніть із сусідньої пари. Немає сусідів — виносьте q з формули n-го члена і стежте за показником. Виліз парний корінь — не викидайте мінус, поки умова сама його не викине. Перевірте відновленням двох членів. Цього набору вистачає і на контрольну, і на тест, і на задачі, де прогресію замаскували бактеріями чи вкладом. Якщо q усе одно не лізе, ряд просто не геометричний. І це теж відповідь, тільки її треба обґрунтувати різними частками двох пар.
