Як направлений імпульс тіла: завжди туди, куди рухається

Коротко

• Імпульс тіла p = m v — вектор. Його напрямок завжди збігається з напрямком швидкості, а не з напрямком сили, прискорення чи «удару».
• Тіло їде вправо — імпульс вправо. Зупинилось — імпульс нуль, окремого напрямку в нульового вектора немає.
• Коли м’яч відскакує від стіни, змінюється вектор імпульсу. Напрямок самої зміни — уже інша стрілка: вона дивиться туди, куди діє імпульс сили.
• Одиниця в СІ — кг·м/с. Це те саме, що Н·с, бо 1 Н = 1 кг·м/с².
• У замкненій системі векторна сума імпульсів не змінюється, навіть якщо окремі тіла розлітаються в різні боки.
• На контрольній найчастіше плутають напрямок імпульсу тіла з напрямком сили тертя або з вектором Δp.

Цю шпаргалку варто тримати поруч, поки читаєте далі. Формули без стрілок на папері легко з’їжджають у скаляр, і тоді задача розвалюється вже на першому знаку «плюс».

Як направлений імпульс тіла? Коротко і без обхідних стежок: у той самий бік, куди направлена швидкість цього тіла. Не «туди, куди штовхають». Не «проти руху, бо воно гальмує». Саме вздовж вектора v. Формула класичної механіки фіксує це жорстко: p = m v. Маса — скаляр і завжди додатна, тож стрілка p повторює стрілку v один в один.

Школярі ловлять це питання в 7 і 9 класах, а потім знову в 10-му, коли з’являються імпульс сили і закон збереження. І щоразу спотикаються об одне й те саме: плутають, куди дивиться сам імпульс, і куди дивиться його зміна. Це різні речі. Нижче розберу обидві — з формулами, числовими прикладами і тими помилками, які на контрольних з’їдають бали пачками.

Що взагалі таке імпульс тіла

Імпульс тіла, або кількість руху (так цю величину називав Ньютон), — міра механічного руху. Для матеріальної точки він дорівнює добутку маси на швидкість і має напрямок швидкості. Так це формулюють шкільні підручники і українська Вікіпедія. Без вектора означення кульгаве: сама цифра m v не каже, в який бік «несе» тіло свій рух.

Інтуїція проста, навіть грубувата. Важкий візок, що ледь повзе, і легкий м’яч, який летить швидко, можуть нести порівнянний імпульс. Або не порівнянний — залежить від цифр. Головне не маса окремо і не швидкість окремо, а добуток. Напрямок цього добутку — напрямок руху, не «сила удару» в побутовому сенсі слова «імпульс».

Формула і позначення

• Векторна форма: p = m v
• Модуль: p = m v, якщо берете лише величину швидкості
• По осях: pₓ = m vₓ, pᵧ = m vᵧ, p_z = m v_z
• Для системи точок: P = сума pᵢ = M v_c, де v_c — швидкість центра мас

Стрілки над p і v на письмі не прикраса. Без них легко додати модулі в лоб і отримати нісенітницю, коли тіла їдуть назустріч. Маса в класиці знака не змінює. Змінює знак тільки швидкість, а разом з нею — імпульс.

Одиниця вимірювання в СІ — кілограм-метр за секунду, кг·м/с. Окремої «іменної» одиниці на кшталт джоуля тут немає. У системі СГС було б г·см/с, але в школі цим майже не користуються. Розмірність величини — L·M·T⁻¹, тобто довжина на масу на обернений час.

Дрібна, але корисна річ: 1 Н·с = 1 кг·м/с. Ньютон-секунда — одиниця імпульсу сили, кілограм-метр за секунду — імпульсу тіла. Чисельно це одне й те саме, бо ньютон уже містить кг·м/с². На тестах інколи спеціально підсовують різні одиниці в варіантах відповіді, щоб перевірити, чи ви це бачите.

Як направлений імпульс тіла на практиці

Тіло масою 2 кг їде вздовж осі x зі швидкістю 5 м/с вправо. Імпульс 10 кг·м/с, стрілка вправо. Розвернулось і їде вліво з тією самою швидкістю за модулем — імпульс уже −10 кг·м/с, якщо вправо вважаємо додатним. Модуль той самий, напрямок протилежний. Ось і вся механіка знака: не треба вигадувати окреме правило «куди дивиться імпульс», якщо вже намалювали швидкість.

Сила при цьому може дивитися куди завгодно: тертя проти швидкості, тяжіння вниз, навіть коли санчата їдуть горизонтально. Імпульс тіла на ці стрілки не орієнтується. Він прив’язаний тільки до v у конкретний момент. Зміниться швидкість — зміниться p. Не раніше.

Чому не «проти руху» і не «туди, куди штовхають»

У практиці репетиторства я раз у раз бачу одну й ту саму картинку в зошиті. Учень малює автомобіль, стрілку швидкості вперед, а стрілку імпульсу — назад, «бо машина гальмує». Логіка побутова: гальма ж тягнуть назад. Так, сила тертя колодок направлена проти швидкості. Імпульс — ні. Поки машина ще їде вперед, імпульс теж вперед, просто він зменшується за модулем.

Друга пастка — «імпульс направлений туди, куди подіяла сила». Ні. Сила змінює імпульс. Сам імпульс у конкретний момент дивиться туди, куди тіло рухається саме зараз. Камінь, який ви вже відпустили, летить по параболі. Сила тяжіння вниз. Горизонтальна складова імпульсу (якщо немає опору повітря) лишається горизонтальною. Вертикальна змінюється: спочатку вгору, в найвищій точці нуль, потім вниз.

• Прямолінійний рівномірний рух: p сталий і за модулем, і за напрямком.
• Гальмування по прямій: напрямок p той самий, модуль падає.
• Розгін по прямій: напрямок той самий, модуль росте.
• Поворот, відскок, коло: напрямок p крутиться разом із v.
• Спокій: p = 0. Напрямок у нульового вектора не задають.

Останній пункт інколи намагаються доробити. Мовляв, тіло стоїть, але імпульс «потенційно вниз, бо тяжіння». Немає такого. Немає швидкості — немає імпульсу. Тяжіння може лише почати змінювати імпульс, щойно з’явиться хоч якась швидкість або щойно ви розглядаєте Δp за час.

Проекції: коли тіло їде навскіс

Вектор зручно розкладати. М’яч летить під кутом 30° до горизонту зі швидкістю 10 м/с, маса 0,4 кг. Модуль імпульсу 4 кг·м/с. Горизонтальна проекція pₓ = 0,4 · 10 · cos 30° ≈ 3,46 кг·м/с. Вертикальна на старті pᵧ = 0,4 · 10 · sin 30° = 2 кг·м/с, вгору. Кут вектора p до горизонту той самий, що й у швидкості: 30°. Не 60°, не «по рівнодійній сил».

Через секунду-другу pₓ майже той самий, якщо опір повітря в задачі відкидають, а pᵧ уже інший, бо вниз тягне mg. Напрямок повного вектора p поступово нахиляється вниз. Він усе одно збігається зі швидкістю — просто сама швидкість уже не під тим кутом, що на старті. Якщо в задачі пишуть «знайдіть напрямок імпульсу», відповідь часто звучить так: «під тим самим кутом до осі, що й швидкість» або «вздовж траєкторії, за дотичною».

Коло і поворот: модуль стоїть, стрілка крутиться

Рівномірний рух по колу ловить навіть тих, хто вже спокійно розв’язує удари на прямій. Модуль швидкості сталий, напрямок — ні, тож вектор p увесь час змінюється. Сам імпульс іде по дотичній, а зміна імпульсу — до центра, як і доцентрове прискорення. Пальцем на папері проведіть обидві лінії й підпишіть: перша є p, друга ближча до Δp. Переплутаєте їх — і відповідь, як направлений імпульс тіла, стане протилежною до правильної.

Імпульс тіла і імпульс сили: різні стрілки

Отут живе найбільша плутанина української шкільної мови. Слово одне — «імпульс», величини дві. Імпульс тіла — p = m v. Імпульс сили — добуток сили на час її дії, J = F Δt для середньої сили; точніше, інтеграл F dt. Ньютон у другому законі фактично каже: зміна кількості руху дорівнює імпульсу сили. Звідси й спокуса поставити обидві стрілки в один бік. Не варто.

Напрямки розведені так:

• Імпульс тіла — як швидкість зараз.
• Імпульс сили — як сила, точніше як рівнодійна за той інтервал.
• Зміна імпульсу Δp = p_після − p_до — як імпульс сили. Δp направлений так само, як J, а не обов’язково так само, як p.

Відбитий від вертикальної стіни м’яч — класика. Летів вправо, після пружного удару — вліво. Імпульс спочатку вправо, потім вліво. А Δp — вліво, від стіни. Сила реакції стіни теж від стіни, на м’яч. Стіна дає м’ячу імпульс сили назад, і саме тому вектор p розвертається. Сам p після удару дивиться вже за новою швидкістю, не «в стіну, бо вдарився».

Таблицю варто перемалювати в конспект своїми стрілками. П’ять рядків — і більшість тестових пасток про напрямок зникає. Особливо рядок про Δp: його чомусь постійно малюють «за рухом», навіть коли тіло відскакує і вже летить у протилежний бік.

Як сила розвертає імпульс

Другий закон Ньютона в імпульсній формі: рівнодійна зовнішніх сил дорівнює швидкості зміни імпульсу, F = dp/dt. Для сталого інтервалу і середньої сили — F Δt = Δp. Це зручніше, ніж F = ma, коли маса змінна, як у ракети, або сила діє коротко і незручно шукати прискорення, як при ударі. Напрямок закону той самий, що й у векторній формі F = ma: сила диктує, куди зміниться p, а не те, куди p дивиться зараз.

Сила за час Δt додає до наявного вектора p маленький або немаленький вектор Δp. Новий імпульс — геометрична сума старого p і цього Δp. Якщо сила вздовж руху — модуль росте, напрямок той самий. Якщо проти — модуль падає, напрямок тримається, доки p не стане нулем, і лише тоді, якщо сила ще діє, тіло поїде назад. Якщо сила навскіс — імпульс поступово повертає, як швидкість на повороті.

Удар об стіну: порахувати Δp, не переплутати p

Нехай м’яч масою 0,5 кг летить горизонтально зі швидкістю 10 м/с на стіну і пружно відскакує з тією самою швидкістю за модулем. Вісь x спрямована на стіну. Тоді до удару p = 5 кг·м/с, на стіну, а після удару p = −5 кг·м/с, від стіни.

Зміна Δp = −5 − 5 = −10 кг·м/с. Модуль зміни вдвічі більший за модуль самого імпульсу — і це нормально для пружного розвороту на 180°. Саме цю подвійну порцію часто забувають, коли рахують силу удару як «просто mv».

Імпульс тіла спочатку направлений на стіну, потім від стіни. Відповідь на питання «як направлений імпульс тіла» завжди прив’язана до моменту: до удару чи після. Питання «який імпульс отримала стіна» — уже про Δp з протилежним знаком, бо за третім законом Ньютона імпульси сили пари «м’яч–стіна» протилежні. Стіна отримує поштовх у бік польоту м’яча до удару.

Якщо удар під кутом, малюють діаграму імпульсів. Відкладають p_до і p_після з однієї точки, з’єднують кінці — отримують Δp. Напрямок цієї з’єднувальної стрілки і є напрямком імпульсу сили, який подіяв на м’яч. Нормальна складова змінюється, часто перевертається. Дотична без тертя не змінюється. Звідси й кут відбивання в ідеалізованій шкільній задачі.

Гальмування: імпульс ще вперед, сила вже назад

Автомобіль 1000 кг їде 20 м/с. Імпульс 20 000 кг·м/с вперед. Гальма дають силу тертя назад, і за 5 с швидкість падає до 10 м/с. Новий імпульс 10 000 кг·м/с — усе ще вперед, а Δp = −10 000 кг·м/с, назад. Середня сила F = Δp/Δt = −2000 Н, теж назад. Саме це розведення стрілок ловлять формулюванням «як направлений імпульс тіла під час гальмування».

Відповідь: у напрямку руху, поки швидкість не нуль. «Під час гальмування» не означає «проти швидкості». Означає лише, що модуль p зменшується. Коли спідометр покаже нуль, імпульс теж стане нулем, і тільки з цього кадру питання про напрямок зникає. До нуля стрілка p живе разом зі стрілкою v.

Куди дивляться імпульси в системі тіл

Одне тіло — стрілка одна. Два тіла — уже сума векторів. Закон збереження імпульсу: у замкненій системі геометрична сума імпульсів до взаємодії дорівнює сумі після. Замкнена означає, що зовнішні сили відсутні, або їхня рівнодійна нуль, або за короткий удар вони набагато слабші за внутрішні. Формула для двох тіл на прямій: m₁v₁ + m₂v₂ дорівнює тому самому після взаємодії, уже з новими швидкостями.

На Землі ідеальної замкненої системи немає. Є тяжіння, є тертя, є опір повітря. На практиці систему все одно вважають замкненою, якщо внутрішній удар чи вибух на порядки сильніший за зовнішні сили за той самий короткий час. Феєрверк у момент розриву — так. Людина, що штовхає ядро, стоячи босоніж на землі, — уже ні, бо земля через тертя втручається серйозно і забирає частину імпульсу.

Два візки, які відштовхнулись

Стояли, сумарний імпульс нуль. Відштовхнулись: легший поїхав швидше, важчий — повільніше, стрілки в протилежні боки. Якщо рух уздовж однієї прямої, m₁ v₁ + m₂ v₂ = 0. Вектори імпульсів спрямовані протилежно, модулі рівні. Кожен імпульс дивиться туди, куди поїхав свій візок, а не «від точки удару» зірочкою посередині.

За спостереженнями, після цієї теми учні починають малювати стрілки від «центра вибуху» на всі боки і підписують їх «імпульс системи». Система як ціле після вибуху в спокої може мати P = 0. Стрілки є в уламків, не в системи окремо від уламків. Нульова сума — це не «немає напрямків», це взаємне погашення протилежних векторів.

Реактивний рух: газ назад, ракета вперед

Ракета кидає масу газів назад. Імпульс газів — назад, за їхньою швидкістю відносно інерціальної системи. Імпульс ракети — вперед. Сума в ідеалі зберігається. Напрямок імпульсу ракети знову збігається з її швидкістю, не з напрямком сопла як деталі. Сопло дивиться назад, швидкість ракети — вперед, p ракети — вперед. Плутанина зі соплом напрочуд живуча, бо око чіпляється за «звідки дме», а не за «куди їде корпус».

Те саме з човном і людиною, яка стрибає на берег, з відбоєм рушниці, з візком і мішком піску, який кидають з нього. Схема одна. Перед тим як писати формулу, намалюйте, куди їде кожне тіло після взаємодії. Стрілка p кожного — туди. Знаки на осі розставляйте вже після малюнка, не до. Хто починає зі знаків, той часто ставить мінус не тому тілу.

Порівняння: що з чим не плутати на контрольній

Правий стовпчик — майже конспект чужих зошитів. Якщо впізнали своє, це не драма: масова помилка, не особиста. Виліковується трьома задачами, де тіло відскакує, гальмує і летить по параболі. Одна тема, три різні стрілки. Після третьої задачі рука вже сама ставить p уздовж v, а Δp — уздовж сили.

Типові помилки, які коштують балів

Перелік не для сорому, а щоб було на що звіряти чернетку перед здачею. Я збираю такі речі зі шкільних робіт і з розборів ЗНО-подібних тестів. Майже всі вони про напрямок, не про арифметику маси.

1. Малюють p проти v під час гальмування. Сила назад, імпульс усе ще вперед.
2. Додають модулі імпульсів назустріч руху. Треба зі знаками. Назустріч — різні знаки на одній осі.
3. Плутають p і Δp у задачі про удар об стіну. Питають імпульс тіла після удару, а у відповідь ставлять зміну.
4. Забувають, що p = 0 у спокої, і шукають йому напрямок.
5. Для руху по колу ставлять p до центра. До центра — прискорення і, за малий час, Δp. Сам p — по дотичній.
6. Вважають, що напрямок імпульсу задає сила тяжіння. Тяжіння змінює вертикальну складову, але горизонтальний політ має горизонтальний p.
7. Мішають одиниці Н і кг·м/с і через це «не сходяться» відповіді, хоча логіка напрямку була правильною.

Сьомий пункт підступний: ви могли правильно зрозуміти, як направлений імпульс тіла, і все одно втратити бал на оформленні. Модуль рахуйте в кг·м/с, силу — в ньютонах, час — у секундах. Тоді J і Δp зійдуться і за числом, і за стрілкою. Перевірка розмірності займає десять секунд і рятує дурні мінуси.

Ще одна побутова ілюзія, яку я помічав на гуртку: «важче тіло завжди має більший імпульс». Ні. Куля малої маси з великою швидкістю легко перекриває імпульс повільної гирі. Напрямок при цьому все одно диктує швидкість кулі, а не «куди важче». Маса масштабує довжину стрілки, не її орієнтацію. Гиря 2 кг зі швидкістю 1 м/с дає 2 кг·м/с. Куля 0,01 кг при 400 м/с — уже 4 кг·м/с, і стрілка — за польотом кулі.

Як швидко перевірити себе в задачі

Перед відповіддю пройдіться короткою сіткою. Займає менше хвилини, якщо вже намалювали рисунок. Я прошу учнів промовляти її вголос перші кілька разів, бо мовчки око знову чіпляється за силу замість швидкості.

1. Є швидкість у цей момент? Якщо немає — p = 0, питання про напрямок знімається.
2. Куди дивиться v? Туди дивиться p. Без дискусії.
3. Питають саме p чи Δp? Якщо «зміну», «імпульс сили», «який імпульс передано» — це вже інша стрілка.
4. Рух на площині? Розкладіть на осі. Знак проекції дорівнює знаку відповідної проекції швидкості.
5. Система з кількох тіл? Стрілка кожного — за своїм v. Сума — окремо, уже як векторна арифметика.

Якщо після цього сітка дає одну відповідь, а «здоровий глузд» — іншу, правді ближча сітка. Здоровий глузд у цій темі часто підсовує силу замість швидкості. Сила — про те, як імпульс зміниться далі. Не про те, яким він є зараз. Зараз є тільки v і m.

Міні-приклади, щоб закріпити стрілку

• Шайба на льоду ковзає праворуч. Імпульс праворуч. Тертя крихітне і ліворуч — на напрямок p не впливає, лише помалу з’їдає модуль.
• Футболіст б’є по м’ячу, що летів на нього. До удару p м’яча — на гравця. Після сильного удару — від гравця. У момент контакту імпульс сили — від ноги, і саме він розвертає p.
• Камінь на нитці крутять у горизонтальному колі. У будь-якій точці p по дотичній. Нитка тягне до центра — це про Δp, не про підпис «імпульс тіла».
• Людина на візку кидає мішок вперед. Мішок отримує p вперед, візок з людиною — назад. Кожен імпульс знову вздовж своєї нової швидкості.

Чотири побутові сцени, одне правило. Якщо вмієте показати пальцем, куди їде тіло, вмієте показати, як направлений імпульс тіла.

У класичній механіці напрямок імпульсу не живе своїм життям: це напрямок швидкості, помножений на додатну масу. Ускладнення починаються, коли в умові з’являється удар, поворот чи формулювання «знайдіть зміну імпульсу». Тоді стрілок стає дві або три, і їх треба підписати: p, Δp, J.

Для поля відповіді в тесті вистачить фрази імпульс тіла направлений так само, як його швидкість. Для відскакування додайте момент часу, для системи — малюнок і знаки проекцій. Далі розберіть п’ять задач: гальмування, пружний удар по нормалі, удар під кутом, два візки, стрибок з човна. Перша риска на рисунку — вздовж швидкості. І тему вже не програєте на старті.