Як знайти висоту трапеції: формули, кроки й типові помилки

Коротко

• Висота — перпендикуляр між двома основами, а не похила бічна сторона.
• Якщо відомі площа S і основи a та b, беріть h = 2S / (a + b).
• Через середню лінію коротше: h = S / m, бо m = (a + b) / 2.
• Є бічна сторона і кут при основі — тоді h = c · sin α. Для тупого кута синус той самий.
• У рівнобічній зручний Піфагор: h = √(c² − ((a − b) / 2)²).
• У прямокутній перпендикулярна бічна сторона вже є висотою, рахувати нічого не треба.

Найчастіше висоту трапеції шукають із формули площі. Склали дві основи, поділили подвоєну площу на цю суму — отримали h = 2S / (a + b). Це той самий шкільний запис S = (a + b) · h / 2, лише розв’язаний відносно h. Якщо площі в умові немає, дивляться далі: кут і бічну, усі чотири сторони, або те, що фігура рівнобічна чи прямокутна.

Плутанина майже завжди починається з малюнка, а не з алгебри. Людина бачить похилу ніжку й тягне лінійку вздовж неї. Висота стоїть під прямим кутом до основ, і поки це не стане звичкою, будь-яка формула дає випадкове число. Нижче — способи по черзі: через площу, через синус, через Піфагора, окремі типи й помилки, на яких зрізаються навіть сильні учні.

Що саме вважати висотою

Трапеція — чотирикутник з однією парою паралельних сторін. Паралельні називають основами, дві інші — бічними. Висота — відстань між прямими, на яких лежать основи. На малюнку її проводять з точки однієї основи перпендикулярно до другої або до продовження другої, якщо кут тупий.

Якщо один кут тупий, перпендикуляр з кінця коротшої основи може впасти не на довший відрізок, а на його продовження. Довжина цього перпендикуляра все одно є висотою, площа від цього не змінюється. У практиці я кілька разів бачив, як учень «губить» висоту саме на тупому куті й починає шукати інший відрізок, ніби правильний перпендикуляр зобов’язаний жити всередині фігури. Не зобов’язаний.

Бічна сторона майже ніколи не дорівнює висоті. Виняток — прямокутна трапеція, де одна бічна стоїть під 90° до основ. В усіх інших випадках бічна довша, бо це гіпотенуза прямокутного трикутника, який з’являється, щойно ви опустили перпендикуляр. На кривому ескізі око це ігнорує, тому підписуйте сторони словами, не лише літерами. Якщо креслите самі, ставте косинець до основи: висота вийде вертикальною відносно цієї основи, а не «майже вертикальною» на око.

• Основи a і b — паралельні сторони. Не плутайте їх із бічними, навіть якщо якась бічна на малюнку «лежить знизу».
• Висота h — перпендикуляр між основами. Провести можна кілька, усі вони рівні.
• Середня лінія m з’єднує середини бічних, паралельна основам і дорівнює (a + b) / 2.
• Площа завжди S = m · h, тому висота — це площа, поділена на середню лінію.

Останній пункт рятує, коли основи окремо не названі, а середня лінія вже є. Тоді нічого «відновлювати» не треба: поділили площу на m і пішли далі. У 8 класі це один з перших робочих ходів після означення, і його чомусь забувають, щойно в задачі з’являється зайве число. Самі по собі дві основи висоту не дають: без площі, кута, бічної чи ще якогось зв’язку між основами задача не визначена, і вигадувати «середнє арифметичне основ» не треба.

Як знайти висоту, якщо відома площа

Це робочий кінь шкільних і вступних задач. Формула площі трапеції записується як S = (a + b) · h / 2. Розв’язуєте відносно h і отримуєте єдиний вираз, який варто пам’ятати напам’ять. Саме його найчастіше й мають на увазі, коли шукають формулу висоти трапеції в довіднику.

h = 2S / (a + b)

Те саме через середню лінію. Оскільки m = (a + b) / 2, маємо S = m · h, отже h = S / m. Два записи, одна суть. Якщо середню лінію ще не рахували, ставте 2S / (a + b) і не ускладнюйте. Двійка в чисельнику з’являється тому, що дві однакові трапеції складаються в паралелограм площею (a + b) · h, а ваша фігура — половина цього.

Приклад з числами

Площа 54 см², основи 8 см і 10 см. Тоді h = 2 · 54 / (8 + 10) = 108 / 18 = 6 см. Три арифметичні дії, жодної теореми. Перевірка назад: (8 + 10) · 6 / 2 = 18 · 3 = 54, зійшлося. Якщо відповідь вийшла підозріло маленькою порівняно зі сторонами, першим ділом шукайте з’їдену двійку: запис h = S / (a + b) дає число рівно вдвічі менше.

Інший варіант. Середня лінія 9 дм, площа 36 дм². Тоді h = 36 / 9 = 4 дм. Основ знати не обов’язково, їх інколи навмисне ховають, щоб ви згадали про середню лінію. Хто починає «відновлювати» a і b з одного лише m, застрягає в рівнянні з двома невідомими і даремно витрачає час.

Через бічну сторону і кут

Коли площі немає, а є кут при основі й прилегла бічна, працює синус. Опустили висоту — утворився прямокутний трикутник. Бічна стала гіпотенузою, висота — катетом навпроти кута між бічною і основою, якщо кут гострий. Формула коротка:

h = c · sin α

Тут c — бічна сторона, α — кут між цією стороною і основою. Друга бічна дає те саме: h = d · sin β. Висота одна, тож обидва добутки рівні, навіть коли сторони різні. Кут між самими основами шукати безглуздо — вони паралельні, такого кута в задачі немає.

• Кут 30°, бічна 10 см: h = 10 · 1/2 = 5 см.
• Кут 45°, бічна 6√2: h = 6√2 · √2 / 2 = 6.
• Кут 60°, бічна 8: h = 8 · √3 / 2 = 4√3.

Ці три кути закривають добру половину шкільних задач, бо синуси табличні: 1/2, √2/2, √3/2. Калькулятор потрібен, лише коли кут «кривий» — 37° чи знятий транспортиром з малюнка. Не підставляйте в синус кут між діагоналлю і основою, якщо в умові мова про бічну: це вже інший трикутник і інша висота «не та».

Якщо кут при більшій основі тупий, не ставте мінус і не беріть синус навмання. Синус тупого додатний: sin 150° = 1/2, як і sin 30°. Геометрично ви проводите висоту на продовження основи, а в трикутнику з’являється суміжний гострий 180° − α. Синуси збігаються, тож h = c · sin α лишається чинною. Формула тут спокійніша за інтуїцію.

Теорема Піфагора, коли немає ні площі, ні кута

Опускаєте два перпендикуляри з кінців коротшої основи на довшу. Усередині вилазить прямокутник, з боків — один або два прямокутні трикутники. Висота — спільний катет цих трикутників. Далі звичайний Піфагор, без нових формул «для трапеції».

Нехай довша основа a, коротша b, a > b. Різниця a − b розкладається на проекції бічних. Позначимо їх x і y, тоді x + y = a − b. Якщо бічні c і d, маємо систему:

• h² + x² = c²
• h² + y² = d²
• x + y = a − b

Віднімаєте перші два рівняння: x² − y² = c² − d², тобто (x − y)(x + y) = c² − d². Підставляєте відому суму x + y і знаходите різницю, далі x і y окремо. Практичний запис для проекції сторони c виглядає так.

x = ((a − b)² + c² − d²) / (2(a − b))

Потім h = √(c² − x²). Якщо x вийшов від’ємним, перпендикуляр упав на продовження основи: у Піфагор іде модуль |x|. Закрита формула через периметр теж існує, її наводить Wikipedia, але для контрольної швидші трикутники. Для опуклої трапеції з різними основами цього досить.

Рівнобічна трапеція

Бічні рівні, кути при основі рівні, діагоналі рівні. Проекції теж рівні: кожна по (a − b) / 2. Саме тому рівнобічну майже завжди розв’язують швидше за довільну, і саме цей випадок стоїть у більшості завдань, де треба знайти висоту трапеції без площі.

h = √(c² − ((a − b) / 2)²)

Той самий зміст у іншому вигляді: h = (1/2) · √(4c² − (a − b)²). Перший запис зручніший, бо видно трикутник: гіпотенуза c, горизонтальний катет (a − b)/2, шуканий катет h. Другий інколи з’являється в довідниках, тож не дивуйтесь, якщо побачите двійку перед коренем.

Класичний набір: основи 12 і 6, бічні по 5. Проекція (12 − 6) / 2 = 3. Далі 5² = 3² + h², 25 = 9 + h², h = 4. Трикутник 3-4-5, його важко не впізнати.

Якщо бічна 13, основи 14 і 4, проекція 5, тоді 5-12-13 і висота 12. Автори майже завжди кладуть єгипетський трикутник. Коли після Піфагора лізе √48, спершу перевірте, чи не забули поділити різницю основ навпіл.

У практиці я помічав одну й ту саму звичку: різницю основ підставляють у Піфагор цілком, без ділення на 2. Катет завищений, висота занижена, інколи під коренем вилазить від’ємне, і людина вирішує, що задача бракована. Ні. Число 12 − 6 = 6 — це сума двох проекцій, а не одна з них. Поділили навпіл — і корінь раптом стає цілим.

Прямокутна трапеція і кілька особливих ситуацій

Прямокутна трапеція має два прямі кути, що прилягають до однієї бічної. Ця бічна і є висотою. Крапка. Друга бічна похила, і саме з неї, якщо треба, збирають прямокутний трикутник. Різниця основ тоді лежить горизонтально: це катет, не висота.

Приклад. Основи 16 см і 9 см, прямий кут при більшій основі, похила бічна 25 см. Різниця основ 7 см — горизонтальний катет. Висота: √(25² − 7²) = √(625 − 49) = √576 = 24 см. Тут знову трикутник, який пізнається майже з першого погляду.

Знову шкільна трійка 7-24-25. Перпендикулярна бічна теж 24 см, бо вона збігається з висотою. Якщо в умові цю бічну вже дали, відповідь на питання «знайдіть висоту» стоїть у тексті задачі, і Піфагор тут зайвий.

Вписане коло

У трапецію можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли сума основ дорівнює сумі бічних: a + b = c + d. Діаметр цього кола дорівнює висоті. Якщо коло вже намальоване й дано радіус r, маємо h = 2r. Коротше не буває, і перевірка умови a + b = c + d тут обов’язкова: без неї вписаного кола просто немає.

Для рівнобічної з вписаним колом є окрема формула: висота є середнім геометричним основ, h = √(a · b). Бічна тоді дорівнює середній лінії, c = (a + b) / 2, проекція (a − b) / 2. Піфагор дає h² = ((a + b) / 2)² − ((a − b) / 2)² = ab. Задачі на НМТ такий хід люблять: основи 4 і 16 — і висота раптом 8, без синуса. Формулу √(ab) не тягніть на різнобічну: без рівних бічних вона не працює.

Діагоналі як запасний вхід

Якщо відомі діагоналі d₁, d₂ і кут γ між ними, площа така ж, як у будь-якого опуклого чотирикутника: S = (1/2) · d₁ · d₂ · sin γ. Прирівняли до (a + b) h / 2 і отримали h = (d₁ · d₂ · sin γ) / (a + b). На контрольних кут між діагоналями дають рідко, тож це радше олімпіадний запас.

Окремий факт для рівнобічної: якщо діагоналі перпендикулярні, висота дорівнює середній лінії, h = (a + b) / 2. Перевіряється через площу. Корисно, коли в умові є слова «діагоналі взаємно перпендикулярні», а окремого числа на висоту наче бракує. Не плутайте це з довільною трапецією: без рівних бічних рівність h = m з перпендикулярних діагоналей уже не випливає так просто.

Який спосіб обрати

Не треба тримати в голові десяток формул одночасно. Дивіться, що дано, і беріть один рядок. Якщо підходять кілька — беріть коротший: площа завжди швидша за Піфагор, синус швидший за розкладання на трикутники. Зайвий «контрольний» шлях лише додає шанс помилитись у знаку чи в двійці.

1. Чи є площа? Тоді h = 2S / (a + b) або h = S / m.
2. Немає площі, є кут при основі і бічна — синус, h = c · sin α.
3. Прямокутна? Перпендикулярна бічна вже є висотою.
4. Рівнобічна зі сторонами — Піфагор з катетом (a − b) / 2.
5. Чотири різні сторони — проекції x і y, потім знову Піфагор.
6. Є вписане коло — h = 2r, а для рівнобічної ще й √(a · b).

Цей порядок не випадковий: він іде від найдешевшого ходу до найдорожчого. На НМТ хвилини рахуються, і немає сенсу будувати два трикутники, якщо площа вже стоїть у першому реченні. Після таблиць нижче видно, яка формула до якого набору даних прив’язана.

Друга таблиця — про пастки за типом фігури. Тип варто назвати вголос до того, як писати формулу: від цього залежить, чи ділити різницю основ навпіл і чи вважати бічну висотою. На око «майже симетрична» не рахується.

√(ab) без рівнобічності не працює. Вписане коло дає лише h = 2r і умову на суми сторін. Середнє геометричне основ — бонус саме рівнобічної. Підміна «щось там корінь з добутку» трапляється часто, і відповідь інколи навіть виходить красивою, що тільки гірше: перевіряти вже не хочеться.

Типові помилки

Більшість з них не про складну геометрію. Про неуважність і про те, що малюнок від руки за десять секунд охоче бреше. Нижче зібрані ходи, які найчастіше ламають інакше правильний розв’язок.

1. Бічну приймають за висоту, особливо коли трапеція «майже прямокутна» на око.
2. Гублять двійку: пишуть h = S / (a + b) замість 2S / (a + b).
3. У рівнобічній не ділять (a − b) навпіл.
4. У синус підставляють не той кут — між діагоналлю і основою замість бічної.
5. Рахують висоту вздовж діагоналі. Діагональ — не висота.
6. Для тупого кута намагаються запхнути перпендикуляр усередину фігури й ламають креслення.
7. Мішають одиниці: площа в см², основи в дециметрах, відповідь «у сантиметрах» без переведення.
8. Беруть формулу рівнобічної для різнобічної, бо «ну майже симетрична».

Коротка перевірка ловить половину цього списку. Висота має бути меншою за кожну похилу бічну або рівною перпендикулярній. Якщо h вийшла 13, а бічна 5, розв’язок мертвий. Якщо h більша за обидві основи разом — не завжди помилка, вузька висока трапеція існує, але умову варто перечитати ще раз. І не забудьте про одиниці: висота в тих самих лінійних мірах, що й сторони.

Кілька задач з розв’язанням

Краще один раз пройти руками, ніж ще раз перечитати формулу. Чотири сюжети нижче покривають майже все, що питають на контрольних і в тестах. Після кожної відповіді є коротка перевірка — не пропускайте її, навіть коли число «гарне».

Задача 1. Площа і основи

Площа 120 см², основи 14 см і 26 см. Знайти висоту. Рахуємо h = 2 · 120 / (14 + 26) = 240 / 40 = 6 см. Середня лінія тут 20 см, перевірка: 20 · 6 = 120. Якщо б написали 120 / 40 = 3, отримали б рівно половину і не помітили б без зворотної підстановки в площу.

Задача 2. Рівнобічна зі сторонами

Основи 18 і 8, бічні по 13. Проекція (18 − 8) / 2 = 5. Тоді h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Площа, якщо спитають слідом: (18 + 8) · 12 / 2 = 26 · 6 = 156. Якби різницю основ не поділили, вийшло б √(169 − 100) = √69, і це вже сигнал перечитати крок з проекцією.

Задача 3. Кут 30°

Бічна сторона 16 см утворює з основою кут 30°. Висота h = 16 · sin 30° = 16 · 0,5 = 8 см. Основ тут немає — і не треба. На саме питання про висоту довжина основ не впливає. Їх добудовують лише якщо далі просять площу або другу основу, а для h вистачає бічної і кута.

Задача 4. Прямокутна, похила бічна

Прямокутна трапеція, основи 21 і 9, похила бічна 13. Різниця основ 12 — горизонтальний катет біля похилої. Тоді 13² − 12² = 169 − 144 = 25, висота 5 см, і перпендикулярна бічна теж 5 см. Тут легко клюнути на 12 і назвати висотою різницю основ. Різниця лежить на основі, не між основами.

Цю помилку я ловив не на слабких учнях, а на тих, хто вже все вміє і читає умову по діагоналі. Прямокутна трапеція гіпнотизує: око бачить сходинку 21 − 9 = 12 і хоче, щоб дванадцять було всім. Ні. Дванадцять лежить плазом. Вертикаль тут 5, трикутник 5-12-13, і саме 5 є відповіддю на питання про висоту.

Перед тим як ставити формулу, підпишіть на малюнку основи й бічні словами. Проведіть висоту самі, навіть якщо в готовому кресленні вона вже є: друкарська лінія інколи крива. Назвіть тип фігури. Потім оберіть рядок з таблиці й перевірте нерівність: висота, проекція і похила бічна мають скласти прямокутний трикутник, де найбільше число — гіпотенуза.

Тож як знайти висоту трапеції, коли умова вже перед очима? Почніть з площі: є вона — діліть 2S на суму основ. Немає — дивіться на кут, потім на тип, потім на чотири сторони. Не стрибайте в найважчу формулу з довідника. І не міряйте похилу лінійкою: перпендикуляр лишається перпендикуляром, навіть коли на вашому ескізі він виглядає некрасиво.