Як знайти точки перетину графіків функцій: алгебра замість ока

Коротко

• Точка перетину — спільна точка двох графіків: пара (x; y) лежить на обох кривих одночасно.
• Робочий спосіб: прирівняти f(x) = g(x), знайти допустимі x, підставити й отримати y.
• Кількість точок залежить від типу функцій. Дві прямі дають 0, 1 або безліч. Пряма і парабола — 0, 1 або 2.
• Малюнок показує картину, але координати з клітинки на контрольній не приймають.
• Відповідь — саме точки, не самі x. Після кожного кореня рахуйте ординату.
• Корінь, логарифм і дріб відсікають зайві розв’язки. Без області визначення легко записати точку, якої немає.

Цього набору вистачає для більшості шкільних задач і типових питань НМТ. Далі — алгоритм, кількість точок, повні приклади і дрібниці, на яких злітають бали. Якщо потрібні саме координати, рахуйте, не прикидайте по зошиту.

Точка перетину графіків функцій — це точка, яка належить обом графікам одночасно. Для y = f(x) і y = g(x) шукаємо пари (x; y), де f(x) = g(x) = y. Не «приблизно там, де лінії зійшлися в зошиті», а точні координати. Алгебраїчно це одне рівняння відносно x і одна підстановка для y.

Тему чіпляють уже в 7 класі з двома прямими і тягнуть до показникових та тригонометричних функцій у старшій школі. На НМТ вона вилазить то прямо («знайдіть координати точки перетину»), то замасковано: система, кількість спільних точок, підбір параметра для дотику. Графік дає картинку, рівняння дає числа. Працюють вони як два боки однієї дії, не як конкуренти.

У практиці я постійно бачу одну звичку. Учень креслить дві лінії, тикає пальцем «ось тут» і пише (2; 3), бо клітинка ніби збіглася. Інколи влучає. Частіше ні, і бал уже не повернути. Нижче зібраний робочий порядок, типові сюжети і перевірка, щоб око не підміняло рахунок.

Що саме ми шукаємо на площині

Графік y = f(x) — множина точок (x; f(x)). Графік y = g(x) — множина (x; g(x)). Спільна точка з’являється лише там, де при одному x висоти збіглися. Тому «знайти точки перетину графіків» і «розв’язати f(x) = g(x)» — один текст двома мовами.

Абсциса — це x, ордината — y, відповідь пишуть парою. Кілька коренів дають кілька точок. Немає дійсних коренів — графіки роз’їхалися. Якщо функції тотожно рівні на всій області, графіки збіглися і точок нескінченно багато. Пара y = 2x + 1 і y = 2(x + 0,5) — це взагалі одна пряма, записана двічі.

Нюанс, який інколи заповзає з інтернету. Ми говоримо про графіки функцій від x: вертикальна пряма січе таку криву щонайбільше раз. Дві такі криві не дадуть двох різних точок з однаковим x. Якщо в задачі з’являється «бічна» парабола x = y², це вже не графік y від x, і точок може бути більше. Для шкільного y = … таке рідко, але плутанина любить зошит.

Систему y = f(x), y = g(x) розв’язують так: з двох виразів для y складають одне рівняння. Можна відняти і шукати нулі різниці f(x) − g(x). Геометрично ці нулі — абсциси точок перетину. Ординати все одно рахують окремо, підстановкою. Без другої координати відповідь ще не точка.

Алгебраїчний спосіб: складаємо f(x) = g(x)

Це основний метод. Він дає точні координати і не залежить від того, рівно ви намалювали параболу чи «на око, як завжди». Алгоритм короткий. Його варто довести до руки, щоб на контрольній не згадувати порядок з нуля.

1. Запишіть обидві функції. Якщо дано неявно, виразіть y або залиште систему.
2. Прирівняйте праві частини: f(x) = g(x). Перенесіть усе в один бік і спростіть.
3. Розв’яжіть рівняння — лінійне, квадратне, дробове чи ірраціональне, як вийде.
4. Кожен знайдений x підставте в одну з функцій і знайдіть y. Краще в простішу.
5. Перевірте область визначення, відкиньте сторонні корені, запишіть точки (x; y).

П’ятий крок не для краси. Корінь, квадрат, логарифм, арксинус і знаменник ріжуть допустимі x. Після піднесення до квадрата рівняння охоче дарує зайве число, яке графіку не належить. Без цієї перевірки відповідь виглядає акуратно і при цьому неправильна.

Як не забути другу координату

Найчастіша дірка — зупинитися на x. Учень чесно розв’язав квадратне, виписав x = 1 і x = 4, підкреслив і здав. А в умові було: знайдіть координати точок перетину. Без y відповідь неповна.

За досвідом, саме ця помилка з’їдає бал частіше за арифметику: логіка ніби є, точки немає. Підставляти можна в будь-яку функцію. Якщо одна лінійна, беріть її — менше шансів загубити знак. Потім проженіть той самий x через другу: збіглося — живете далі, не збіглося — шукайте мінус.

Коли корені перевіряють окремо

Окрема перевірка потрібна, якщо ви підносили обидві частини до квадрата, множили на вираз зі змінною, користувалися логарифмом чи модулем або скорочували спільний множник. Скорочення — тиха пастка. Викинули (x − 2) з обох боків і могли викинути точку з абсцисою 2.

• Рівняння з коренями: підстановка в початковий вигляд плюс невід’ємність підкореневого.
• Дроби: знаменник не нуль, область не порожня.
• Модуль: розкриття на проміжках, кожен корінь живе лише на своєму.
• Логарифм: аргумент додатний, основа додатна і не дорівнює одиниці.

Кожен пункт зі списку — фільтр, який відсікає точки, яких на графіку немає. Краще два рядки перевірки, ніж зайва пара у відповіді. Спочатку дивіться, чи x дає рівність і чи не звертає знаменник у нуль.

Графічний спосіб: коли допомагає, а коли бреше

Ідея проста: побудувати обидва графіки в одній системі і подивитися, де вони зустрічаються. Для двох прямих це швидко. Для параболи теж, якщо знаєте вершину, напрям гілок і перетин з осями. Для y = 2ˣ або y = log₂x від руки вже важче, і клітинка починає брехати.

Графік добре відповідає на інші питання: скільки точок чекати, чи є дотик, чи криві розбігаються. Погано відповідає на «назвіть точні координати», якщо вони не цілі. На НМТ ескіз у чернетці лишається чернеткою, не відповіддю. Координати все одно беруть з рівняння.

У зв’язці вони сильніші, ніж поодинці. Я спочатку дивлюся, що це за функції. Дві прямі з різними кутовими коефіцієнтами обіцяють одну точку, і я вже знаю, що шукаю. Потім рахую. Якщо після розрахунку вилізло три точки для прямої і параболи — зламалася алгебра, бо так не буває.

Скільки точок перетину взагалі буває

Це окреме вміння, і його люблять у тестах: укажіть кількість спільних точок, при якому a графіки не перетинаються. Не завжди треба самі координати. Часто досить зрозуміти тип рівняння f(x) = g(x) і подивитися на дискримінант або кутові коефіцієнти.

Рядок про кубічну варто розжувати. Многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами завжди має хоча б один дійсний корінь. Графік кубічної і пряма після віднімання знову дають кубічну, тож мінімум одна спільна точка буде. Дві або три — як вийде. Для парного степеня такої гарантії немає: парабола може висіти над прямою і ніколи її не зустріти.

Дві прямі

Дивіться на кутовий коефіцієнт k. Різні k — прямі не паралельні, перетин рівно один. Однакові k і різні b — паралельні, точок нуль. Однакові k і однакові b — одна пряма, записана двічі.

У 7 класі це проходять на системах лінійних рівнянь: геометричний зміст системи двох рівнянь з двома змінними саме такий. Іноді прямі задають через ax + by = c. Тоді або виражаєте y, або додаєте рівняння. Результат той самий: одна точка, жодної або нескінченність.

Пряма і парабола

Прирівнюєте ax² + bx + c = kx + d, переносите все ліворуч і отримуєте квадратне. Далі працює дискримінант. Додатний — дві різні точки, пряма січе параболу. Нульовий — одна точка, пряма дотична. Від’ємний — роз’їхалися.

За матеріалами AMSI, пряма зустрічає параболу не більш як у двох точках. Це стеля для графіків y = квадрат і y = лінійна. Дотик інколи просять навпаки: підібрати k так, щоб y = kx + 1 дотикалася y = x².

Ставите x² − kx − 1 = 0 і вимагаєте D = 0, а звідти k² + 4 = 0. Стоп, k² + 4 ніколи не нуль. Ця родина прямих параболу завжди січе у двох точках і ніколи не дотикається. Не зубріть «дотик = один корінь» окремо від формули: рахуйте D для саме цієї задачі.

Дві параболи й інші криві

Якщо обидві мають вигляд y = квадрат, після віднімання старші члени можуть скоротитися. Коефіцієнти при x² різні — знову квадратне, максимум дві точки. Однакові, а при x різні — лінійне, рівно одна. Збіглося все, крім вільного члена — паралельний зсув, точок немає. Формули однакові — графіки зліпилися.

В інтернеті пишуть, що дві параболи перетинаються у чотирьох точках. Для загальних конічних перерізів на площині це так. Для двох графіків y = ax² + bx + c — ні, максимум два. Бічна x = y² уже не функція від x у шкільному сенсі. Не тягніть цю байку в контрольну з алгебри.

Показникові й логарифмічні інколи розв’язуються красиво: 2ˣ = 4 дає x = 2. Інколи ні: 2ˣ = x + 5 хоче або графік, або чисельний метод. На контрольній такі зазвичай підібрані так, щоб корінь був цілий і його можна було вгадати перевіркою. Потім доводять, що інших немає — монотонністю, у 10–11 класі ще й похідною.

Покрокові приклади з повним розв’язанням

П’ять типових сюжетів. Раджу не тільки прочитати, а прогнати на папері: рука пам’ятає краще за очі. Числа підібрані так, щоб арифметика не заважала логіці. Ордината не завжди нуль, тож її теж треба порахувати, а не вгадати з малюнка.

Дві лінійні функції

Знайти точки перетину y = 8x − 7 і y = −2x + 3. Прирівнюємо 8x − 7 = −2x + 3 і зводимо до 10x = 10, звідки x = 1. Ордината простіше з другої формули: y = −2·1 + 3 = 1. Перевірка в першій дає 8·1 − 7 = 1, тож єдина точка (1; 1).

Чому одна? Кутові коефіцієнти 8 і −2 різні, прямі не паралельні. Можна було б не рахувати y, якби питали лише кількість. Тут питали точку — отже, пара чисел. Без ординати відповідь знову перетворюється на корінь, а не на точку площини.

Лінійна і квадратична

Графіки y = x² − 4x + 3 і y = x − 1. Прирівнюємо і переносимо все ліворуч: x² − 5x + 4 = 0. Дискримінант 25 − 16 = 9, корені x = 4 і x = 1. Ординати зручно брати з прямої: при x = 1 маємо y = 0, при x = 4 маємо y = 3. Точки (1; 0) і (4; 3).

Перевірка через параболу: 1 − 4 + 3 = 0 і 16 − 16 + 3 = 3. Дві точки, пряма січе параболу. Помічав, що після розкладання учні пишуть «перетин в 1 і 4» і все. Для задачі точки — це (1; 0) і (4; 3). Одна лежить на осі Ox, друга ні.

Дотик: дискримінант дорівнює нулю

Візьмемо y = x² і y = 2x − 1. Рівняння x² − 2x + 1 = 0 згортається до (x − 1)² = 0. Корінь один, x = 1, і він подвійний, y = 1. Точка (1; 1). Геометрично пряма не простромлює параболу наскрізь, а торкається.

Алгебраїчно це подвійний корінь. Для відповіді «координати точки перетину» це звичайна одна точка. Якщо питають кількість розв’язків — теж один. Кратність у шкільних формулюваннях про графіки рідко потрібна, потрібна саме точка.

Ще один класичний дотик: y = 4x² − 9x + 11 і y = 3x + 2 дають 4x² − 12x + 9 = 0. Дискримінант 144 − 144 = 0. Одна точка, пряма дотична. Логіка та сама, що в українському 9 класі.

Графіки не перетинаються

Перший випадок — паралельні прямі. Для y = 2x + 1 і y = 2x − 3 після прирівнювання виходить 1 = −3, суперечність. Точок немає. Малюнок це підтверджує: однакові нахили, різні зсуви.

Другий випадок — парабола над прямою. Для y = x² + 2 і y = x маємо x² − x + 2 = 0, дискримінант 1 − 8 = −7. Дійсних коренів немає, парабола висить вище. Вершина різниці сидить у x = 1/2 і дає 1,75, гілки вгору — рівності нулю немає. На тесті я б усе одно порахував D: швидше і менше сумнівів.

Функції з обмеженою областю визначення

Нехай y = √x і y = x − 2. Область першої: x ≥ 0. Корінь невід’ємний, тож і права частина невід’ємна, звідси x ≥ 2. Після піднесення до квадрата знову вилазять x = 1 і x = 4, але x = 1 не входить у x ≥ 2. Залишається x = 4, y = 2, точка (4; 2).

Якщо пропустити область, запишете зайву (1; −1). А (1; −1) на графіку кореня не лежить: √1 = 1, не −1. Стороння точка — класика після піднесення до квадрата.

Ще один частий гість: y = 1/x і y = x. При x ≠ 0 маємо x² = 1, точки (1; 1) і (−1; −1). Обидві живі. А от з віссю Ox гіпербола y = 1/x не зустрічається ніколи: дріб нулю не дорівнює.

Точки перетину з осями — це інше завдання

Плутають постійно, особливо в 8 класі. Перетин графіка з віссю Oy — значення при x = 0, точка (0; f(0)), якщо нуль у області. З віссю Ox — корені f(x) = 0, точки (x; 0). Це перетин з осями, не з іншим графіком.

Вісь Ox формально вкладається в нашу схему: це графік y = 0, тож f(x) = 0. Вісь Oy — вертикальна пряма, не графік функції від x. Коли в задачі сказано «знайдіть точки перетину графіків f і g», осі ні до чого, якщо їх окремо не згадали.

Для параболи y = x² − 4x + 3 перетин з Ox дає (1; 0) і (3; 0), з Oy — (0; 3). А перетин тієї ж параболи з прямою y = x − 1 дає (1; 0) і (4; 3). Спільний випадок (1; 0) — випадковий збіг, бо пряма теж проходить через цю точку. Не узагальнюйте з одного малюнка.

Помилки, на яких сипляться бали

Список з репетиторської практики. Не «теоретично можливо», а те, що реально пишуть у зошитах. Якщо впізнаєте себе хоча б у двох рядках, тримайте цей список перед наступною самостійною.

• Знайти x і забути y. Відповідь тоді не точка, а число.
• Підставити x не в ту формулу і отримати чужий y.
• Вважати, що D = 0 означає «перетину немає». Є. Дотик — це перетин.
• При D < 0 записувати комплексний корінь. На шкільній площині точок немає.
• Прочитати «скільки точок» і витратити п’ять хвилин на координати, яких не просили.
• Зняти з клітинки (2; 3), хоча алгебра дає (2; 4). Масштаб зрадив.
• Скоротити (x − 3) і втратити точку, яка якраз була перетином.
• Піднести до квадрата і залишити сторонній корінь.
• Переплутати перетин графіків із перетином з осями.
• Для модуля розкрити формулу на одному проміжку і забути другий.

Модуль окремо варто проговорити. y = |x| — дві півпрямі, тож |x| = 2x − 1 розбивають на x ≥ 0 і x < 0. На правому шматку виходить x = 1, і він підходить. На лівому вилазить x = 1/3, який у проміжок не входить. Одна точка (1; 1).

Хто намалює обидві півпрямі, той ще й побачить, що ліва гілка від прямої втекла вниз. За спостереженнями, після першої контрольної з параболою половина групи вже вміє зводити до квадратного. Друга досі ставить крапку там, де лінії злилися в товстій ручці. Ручка, на жаль, товстіша за алгебру.

Desmos, GeoGebra і звичайний калькулятор

На домашнє і для самоперевірки інструменти варто брати. На контрольній — ні, якщо не дозволили. Розуміння, що програма робить те саме рівняння f(x) = g(x), знімає магію з кнопки Intersect. Нижче — робочі шляхи, не реклама.

• Desmos: вбити обидві формули, клікнути по видимій точці перетину. Якщо точок кілька — клацнути кожну. Масштаб колесом, щоб не пропустити далекий перетин.
• GeoGebra: види «Алгебра» і «Полотно», інструмент «Перетин», клік по обох графіках. Або вид СКА: f(x) := …, g(x) := …, потім f = g і «Розв’язати».
• Casio / TI: Graph, далі Calc / Intersect, вказати дві криві і приблизний x, від якого починати пошук. Кілька перетинів — процедуру повторюють.

Нюанс Desmos: програма показує наближення. Для x = √2 побачите 1.414, не «корінь з двох». Для тесту з точними відповідями це перевірка, не фінальний запис. У GeoGebra символьний шлях інколи чесніший за кліки мишкою, бо не залежить від того, чи точка потрапила у видиме вікно. Науковий калькулятор без графіка теж годиться: рівняння розв’язуєте кнопками, як на папері.

Що робити на контрольній і на НМТ

Спочатку прочитайте, що саме питають. Координати точки, кількість точок і значення параметра для дотику — три різні відповіді. Підкресліть це в умові. Далі визначте тип функцій: від типу залежить, яке рівняння ви отримаєте і скільки коренів чекати.

1. Записати f(x) = g(x) явно, не в голові.
2. Спростити. Не стрибати через три рядки одразу, мінус любить ховатися.
3. Розв’язати. Для квадратного — D, потім x, потім y.
4. Відсіяти зайве за областю визначення.
5. Записати точки як пари в дужках. Якщо точок кілька — усі.
6. Швидка перевірка: підставити кожну пару в обидві вихідні формули.

На НМТ час тисне, і спокуса «побачити на ескізі» велика. Ескіз хай буде, але як страховка. Якщо варіанти відповідей — чотири точки, підставте кожну в обидві функції. Інколи це швидше, ніж розв’язувати з нуля. Легальний прийом для тесту з вибором: точка перетину задовольняє обидва рівняння, зайва — ні.

Параметричні задачі трохи зліші. «При яких a графіки y = x² + a і y = 2x мають дві спільні точки?» Зводите x² − 2x + a = 0 і хочете D > 0, тобто a < 1. Одна точка при a = 1, жодної при a > 1. Хто починає малювати десяток парабол для різних a, той спалює час.

Якщо функції тригонометричні, пам’ятайте періодичність. y = sin x і y = 1/2 зустрічаються нескінченно багато разів. У відповіді тоді або загальна формула, або кількість на відрізку [0; 2π]. Читайте відрізок. Без нього фраза «дві точки» просто неправильна.

Робоча звичка така: не малювати навмання, а прирівняти. Графік залишайте для орієнтиру і для оцінки, скільки точок чекати. Координати беруться з рівняння f(x) = g(x) і підстановки в одну з функцій. Перевірили область, записали пари (x; y) і йдете далі.

Спробуйте зараз, без підглядання, знайти точки перетину y = x² − x і y = 2x. Якщо вийшло (0; 0) і (3; 6), метод уже ваш. Якщо вийшло щось інше — пройдіть п’ять кроків ще раз, повільніше, з перевіркою кожної пари в обох формулах. Це займає хвилину і закриває тему надійніше за будь-яку шпаргалку.