Коротко:
- Основа — це сторона, що лежить між двома рівними бічними сторонами рівнобедреного трикутника.
- Найпростіший спосіб: якщо відомі дві рівні сторони і висота до основи — основа дорівнює подвоєному кореню з різниці квадратів сторони і висоти.
- Якщо дано рівні сторони і кут при вершині — використовуємо формулу з синусом половини кута або теорему косинусів.
- Коли відомий периметр і довжина бічної сторони — основа знаходиться елементарним відніманням.
- Через площу і висоту основа обчислюється як подвоєна площа, поділена на висоту.
- Головна помилка новачків — плутати основу з бічною стороною або забувати, що висота ділить основу навпіл.
Основа рівнобедреного трикутника — це та єдина сторона, яка відрізняється від двох інших рівних. Якщо ви знаєте довжини бічних сторін і хоча б один кут чи висоту, основу можна обчислити за чіткими формулами. Не потрібно нічого вигадувати: геометрія тут працює прямолінійно.
У школі цю задачу дають уже в 7–8 класі, а на ЗНО чи вступних вона з’являється регулярно. Багато хто спотикається саме на тому, що плутає, яку сторону вважати основою, або неправильно застосовує теорему Піфагора. Нижче розберемо всі робочі способи, щоб ви могли швидко обрати потрібний і не помилятися.
Рівнобедрений трикутник має дві рівні сторони — їх називають бічними. Третя сторона завжди основа. Кути при основі теж рівні. Висота, проведена до основи, одночасно є медіаною і бісектрисою. Саме ця властивість дає найпростіші формули.
Що вважати основою і чому це важливо
Основа — не просто «нижня» сторона на малюнку. Це сторона, яка лежить проти кута при вершині, тобто між двома рівними бічними. Якщо трикутник розташований «догори ногами», основа все одно залишається тією ж стороною за визначенням.
У практиці, коли допомагав учням готуватися до контрольних, помічав одну й ту саму плутанину: дитина дивиться на малюнок і бере за основу ту сторону, яка виглядає довшою візуально. А треба дивитися на рівні сторони. Якщо дві сторони рівні — третя і є основа. Крапка.
Чому це має значення? Тому що майже всі формули «прив’язані» саме до основи. Висота йде до неї, кути при ній рівні, медіана ділить її навпіл. Переплутали — і всі подальші розрахунки полетіли.
Спосіб 1. Відомі рівні сторони і висота до основи
Це найчастіший і найзручніший варіант. Висота ділить основу навпіл і утворює два прямокутні трикутники. У кожному з них гіпотенуза — бічна сторона, один катет — висота, другий — половина основи.
Формула виглядає так:
b = 2 √a² – h²
де a — довжина бічної сторони, h — висота, проведена до основи, b — шукана основа.
Приклад. Бічна сторона 13 см, висота 5 см. Тоді половина основи — це √13² – 5² = √169 – 25 = √144 = 12. Основа — 24 см.
Увага: під коренем має бути додатне число. Якщо h більше за a, то такого трикутника просто не існує. Це одна з перших перевірок, яку варто робити.
За спостереженнями, учні часто забувають помножити на 2 і зупиняються на половині основи. Або навпаки — підставляють у формулу всю основу замість половини. Перевіряйте проміжний результат.
Спосіб 2. Відомі рівні сторони і кут при вершині
Тут працює теорема косинусів або формула через синус половини кута.
Через синус:
b = 2 a sin((α)/(2))
де α — кут при вершині.
Через косинус (теорема косинусів):
b = a √2 – 2cosα
або еквівалентно b = √2a²(1 – cosα).
Обидві формули дають однаковий результат. Перша зручніша, коли кут гострий і є таблиця синусів або калькулятор. Друга — коли працюєте з косинусами.
Приклад. Бічні сторони по 10 см, кут при вершині 60°. Тоді sin(30°) = 0,5, основа b = 2 · 10 · 0,5 = 10 см. Отримали рівносторонній трикутник — логічно.
Інший приклад. Сторони 8 см, кут 90°. sin(45°) ≈ 0,707, основа ≈ 11,31 см. Перевірка через косинус: cos 90° = 0, тому b = 8√2 ≈ 11,31. Збігається.
Якщо кут тупий, синус половини кута все одно працює, бо половина тупого кута може бути і гострим, і тупим, але синус додатний у потрібному діапазоні.
Спосіб 3. Відомий периметр і бічна сторона
Найпростіший випадок. Периметр P = 2a + b. Звідси основа:
b = P – 2a
Жодних коренів і тригонометрії. Головне — переконатися, що a дійсно бічна сторона, а не основа.
Приклад. Периметр 40 см, бічна сторона 12 см. Основа = 40 − 24 = 16 см. Перевірка нерівності трикутника: 12 + 12 > 16 — виконується. 12 + 16 > 12 — теж. Усе добре.
Якщо після віднімання основа виходить більшою за суму двох бічних — такого трикутника не існує. Це теж варто перевіряти одразу.
Спосіб 4. Через площу і висоту
Площа рівнобедреного трикутника S = (1)/(2) b h. Звідси:
b = (2S)/(h)
Формула працює, навіть якщо ви не знаєте бічних сторін. Головне — мати площу і висоту саме до основи.
Приклад. Площа 48 см², висота 8 см. Основа = (2 · 48)/(8) = 12 см.
Цей спосіб зручний, коли в задачі дано площу, а сторони треба знайти додатково. Іноді спочатку знаходять висоту через інші дані, а потім основу.
Спосіб 5. Коли відомі кути при основі
Кути при основі рівні. Якщо кожен дорівнює β, то кут при вершині α = 180° – 2β. Далі підставляєте в формулу з попереднього способу.
Або можна одразу використати теорему синусів:
(b)/(sinα) = (a)/(sinβ)
звідки b = a · (sinα)/(sinβ).
Оскільки α = 180° – 2β, sinα = sin 2β = 2sinβcosβ. Тоді формула спрощується до b = 2a cosβ.
Ця остання версія дуже зручна. Якщо бічна сторона 10 см, кут при основі 40°, то основа = 2 · 10 · cos 40° ≈ 20 · 0,766 = 15,32 см.
У практиці помічав, що школярі рідко доходять до спрощеної формули з косинусом кута при основі. А вона економить час на обчисленнях.
Порівняння способів
| Спосіб | Що потрібно знати | Складність | Коли найкраще використовувати |
|---|---|---|---|
| Через висоту | Бічна сторона + висота | Низька | Є висота на малюнку або в умові |
| Через кут при вершині | Бічна сторона + кут α | Середня | Дано кут або його легко знайти |
| Через периметр | Периметр + бічна сторона | Дуже низька | Відомі всі сторони або периметр |
| Через площу | Площа + висота | Низька | Задача на площу |
| Через кути при основі | Бічна сторона + кут β | Середня | Дано кути при основі |
Таблиця показує, що найшвидші шляхи — через периметр або висоту. Тригонометрія потрібна тоді, коли кути дано явно, а лінійних розмірів мало.
Типові помилки і як їх уникнути
Перша і найпоширеніша — переплутати основу з бічною стороною. Якщо в умові написано «рівнобедрений трикутник зі сторонами 5, 5 і 6», то основа — 6. Якщо «зі сторонами 5, 6 і 6» — основа 5. Завжди шукайте дві однакові.
Друга помилка — забути, що висота ділить основу навпіл. Дехто підставляє всю основу в теорему Піфагора і отримує нісенітницю.
Третя — неправильно визначити кут. Кут при вершині — той, що між рівними сторонами. Кути при основі — біля основи. Плутанина з цим одразу ламає формулу з синусом.
Четверта — не перевіряти нерівність трикутника. Отримали основу 30 при бічних по 10 — такого не буває. Сума будь-яких двох сторін має бути більшою за третю.
П’ята — округлення на проміжних кроках. Якщо рахуєте через синус або косинус, краще тримати більше знаків після коми і округлювати вже кінцевий результат.
За досвідом, коли розбираєш з учнем задачу крок за кроком і змушуєш його проговорити вголос «ось рівні сторони, ось основа, ось висота ділить її навпіл», кількість помилок падає майже до нуля.
Додаткові нюанси, які рідко згадують
Якщо трикутник рівносторонній, то будь-яка сторона може вважатися основою. Формули все одно працюють, просто всі сторони рівні.
Коли кут при вершині дуже малий, основа стає майже вдвічі більшою за бічну сторону (у граничному випадку). Коли кут близький до 180°, основа майже дорівнює сумі двох бічних — трикутник «розплющується».
У задачах на побудову основу часто знаходять не обчисленням, а циркулем і лінійкою. Але якщо потрібне числове значення — формули вище незамінні.
Іноді в умові дано лише медіану або бісектрису. У рівнобедреному трикутнику вони збігаються з висотою, тому можна спокійно підставляти їх у формулу з висотою.
Якщо даних більше, ніж потрібно, зробіть перевірку двома способами. Якщо результати збіглися — ви на правильному шляху. Якщо ні — шукайте, де помилились у підстановці.
Окремо варто згадати про одиниці вимірювання. Якщо сторони в сантиметрах, а висота в метрах — спочатку все приведіть до однієї системи. Здається банальним, але на контрольних це трапляється.
Практичні поради для швидкого розв’язання
Спочатку намалюйте схематичний малюнок. Підпишіть рівні сторони однаковими рисками, основу — окремо, висоту — пунктиром. Вже на цьому етапі багато хто бачить, який спосіб обрати.
Запишіть, що відомо, і що шукаємо. Якщо є висота — одразу йдіть через корінь. Якщо є кут — через синус або косинус. Якщо периметр — просто віднімайте.
Не бійтеся користуватися калькулятором для синусів і косинусів. На ЗНО дозволені калькулятори певного типу, а вдома — тим більше.
Перевіряйте відповідь на «здоровий глузд». Основа не може бути від’ємною. Не може бути більшою за суму бічних. Якщо вийшло дуже дивне число — поверніться і перевірте підстановку.
У практиці, коли розв’язував десятки подібних задач з різними учнями, помітив, що найшвидше спрацьовує саме звичка малювати і підписувати. Без малюнка навіть прості формули іноді «не заходять».
Якщо задача комбінована і треба знайти ще й площу чи радіус вписаного кола — спочатку знайдіть основу, потім усе інше стане простішим. Багато формул для рівнобедреного трикутника саме через основу і висоту записуються найкоротше.
Нарешті, запам’ятайте дві базові формули напам’ять: через висоту і через синус половини кута при вершині. Вони покривають більшість шкільних і вступних задач.
Тепер у вас є повний набір інструментів. Візьміть будь-яку задачу з рівнобедреним трикутником, визначте, що дано, оберіть відповідний спосіб і порахуйте. Якщо після цього залишилися питання — спробуйте розв’язати ще кілька прикладів самостійно. Саме практика закріплює формули краще за будь-яке пояснення.
