Як знайти медіану вибірки: покроково з прикладами

Коротко:

• Медіана вибірки — це значення, яке ділить упорядкований ряд даних навпіл: половина спостережень менша або дорівнює їй, половина — більша або дорівнює.
• Спочатку дані обов’язково сортують за зростанням. Без цього кроку результат буде неправильним.
• Якщо кількість чисел непарна — беруть середній елемент. Якщо парна — середнє арифметичне двох середніх.
• Медіана майже не реагує на викиди, тому її часто обирають замість середнього, коли в даних є екстремальні значення.
• Рахувати можна вручну, у Excel, Google Таблицях або кількома рядками коду на Python.
• Головна помилка новачків — забути впорядкувати вибірку або плутати медіану із середнім арифметичним.

Медіана вибірки — це те значення, яке стоїть рівно посередині, коли всі числа вибірки вибудувані від найменшого до найбільшого. Половина спостережень лежить ліворуч від неї, половина — праворуч. Саме тому її називають «середнім за положенням», а не за величиною.

На відміну від середнього арифметичного, медіана майже не реагує на кілька дуже великих або дуже малих чисел. Якщо в групі з десяти зарплат одна людина отримує в десять разів більше за інших, середнє «стрибне» вгору, а медіана залишиться на місці. Саме ця властивість робить її зручною для аналізу доходів, цін на житло, результатів тестів і будь-яких даних, де трапляються викиди.

Далі розберемо, як саме її знаходити — від ручного розрахунку до формул у таблицях і коду. Усе з конкретними числами, щоб можна було одразу перевірити на своїх даних.

Що таке медіана вибірки і чим вона відрізняється від середнього

Вибірка — це набір спостережень, які ми реально зібрали. Медіана цієї вибірки показує «центральну» точку саме цього набору. У статистиці її позначають як Me або x̃.

Середнє арифметичне враховує величину кожного числа. Медіана дивиться лише на порядок. Тому коли в даних є сильний перекіс (наприклад, більшість людей отримують 15–25 тисяч гривень, а кілька — по 150–200 тисяч), середнє буде завищеним, а медіана краще покаже, що отримує «типова» людина.

У практиці я часто бачив, як аналітики спочатку дивляться на середнє, а потім перевіряють медіану. Якщо різниця велика — майже завжди виявляється, що в даних є кілька аномальних значень. Медіана в таких випадках рятує від неправильних висновків.

Як знайти медіану вибірки крок за кроком

Алгоритм однаковий для будь-яких числових даних. Головне — не пропускати сортування.

Крок 1. Упорядкувати дані за зростанням

Беремо всі числа вибірки і розставляємо від найменшого до найбільшого. Якщо є однакові значення — вони просто стоять поруч. Цей крок критичний. Без нього медіану знайти неможливо.

Крок 2. Визначити кількість спостережень (n)

Порахувати, скільки чисел у вибірці. Від цього залежить формула.

Крок 3. Застосувати відповідну формулу

• Якщо n непарне: медіана = значення, яке стоїть на позиції (n + 1) / 2.
• Якщо n парне: медіана = середнє арифметичне двох чисел, що стоять на позиціях n/2 та n/2 + 1.

Після списку варто запам’ятати просте правило: при непарній кількості «середина» — одне конкретне число, при парній — межа між двома середніми.

Приклади розрахунку медіани

Приклад 1. Непарна кількість спостережень

Вибірка: 7, 3, 9, 2, 5, 8, 4. Тут n = 7 (непарне).

Спочатку сортуємо: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.

Позиція медіани: (7 + 1) / 2 = 4. Четверте число — 5. Отже, медіана = 5.

Перевірка: ліворуч від 5 стоять три числа, праворуч — теж три. Все збігається.

Приклад 2. Парна кількість спостережень

Вибірка: 12, 5, 18, 9, 7, 15. n = 6 (парне).

Сортуємо: 5, 7, 9, 12, 15, 18.

Два середніх числа — на позиціях 3 і 4: 9 і 12.

Медіана = (9 + 12) / 2 = 10,5.

Зверніть увагу: медіана не обов’язково має бути одним із чисел вибірки. При парній кількості вона часто виходить «між» ними.

Приклад 3. Дані з повтореннями

Вибірка оцінок: 4, 5, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 3. n = 9.

Сортуємо: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Позиція: (9 + 1) / 2 = 5. П’яте число — 4. Медіана = 4.

Навіть якщо більшість оцінок — п’ятірки, медіана все одно 4, бо саме це значення ділить ряд навпіл.

Приклад 4. Більша вибірка (зарплати)

Уявімо вибірку місячних зарплат у гривнях (у тисячах): 18, 22, 19, 45, 21, 20, 17, 23, 19, 25, 180, 21.

n = 12. Сортуємо: 17, 18, 19, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 25, 45, 180.

Два середніх — 6-е і 7-е: 21 і 21. Медіана = 21.

Середнє арифметичне тут буде близько 35–36 через одну дуже високу зарплату. Медіана ж показує, що типова людина в цій групі отримує близько 21 тисячі. Саме тому в аналізі доходів медіану використовують частіше.

Медіана і середнє арифметичне: коли що обирати

Після таблиці видно головне: якщо дані «чисті» і симетричні — обидва показники близькі. Якщо є сильний перекіс або викиди — медіана дає більш реалістичну картину «типового» значення.

У практиці, коли я дивився на дані про час доставки в одному з інтернет-магазинів, середнє показувало 4,2 дні, а медіана — 2,8. Причина виявилася простою: кілька замовлень «зависли» на 20–30 днів. Медіана краще відображала, скільки насправді чекає більшість клієнтів.

Як знайти медіану в Excel і Google Таблицях

У Excel і Google Таблицях є готова функція MEDIAN.

Синтаксис однаковий: =MEDIAN(діапазон). Наприклад, =MEDIAN(A1:A20).

Функція сама сортує дані всередині і правильно обробляє як парну, так і непарну кількість. Якщо в діапазоні є порожні клітинки або текст — вони ігноруються. Якщо всі клітинки порожні — функція поверне помилку.

Для великих таблиць зручно спочатку відфільтрувати потрібні рядки, а потім застосувати MEDIAN до видимого діапазону. Або використовувати MEDIAN разом з IF у масивних формулах (у новіших версіях Excel — динамічні масиви).

У Google Таблицях все працює так само. Єдиний нюанс — якщо дані оновлюються автоматично, формула перераховується одразу.

Як знайти медіану в Python

Найпростіший спосіб — бібліотека statistics (є в стандартній поставці Python 3.4+):

import statistics
data = [7, 3, 9, 2, 5, 8, 4]
print(statistics.median(data))

Отримаємо 5.0.

Якщо працюєте з pandas (майже завжди при аналізі даних):

import pandas as pd
s = pd.Series([12, 5, 18, 9, 7, 15])
print(s.median())

Результат — 10.5.

У NumPy теж є np.median(). Усі ці функції автоматично сортують і правильно обробляють парну/непарну кількість.

Для дуже великих масивів (мільйони рядків) NumPy і pandas працюють значно швидше, ніж чистий Python.

Типові помилки при розрахунку медіани

• Забувають сортувати дані. Найчастіша помилка. Без упорядкування результат не має сенсу.
• Плутають медіану із середнім арифметичним і навпаки. Особливо часто це трапляється, коли в тексті просто пишуть «середнє».
• При парній кількості беруть не два середніх числа, а одне з них. Або просто вибирають «на око».
• Включають у розрахунок текстові значення або порожні клітинки і дивуються, чому формула видає помилку.
• Для згрупованих даних (інтервалів) намагаються застосувати просту формулу для незгрупованих. Там потрібна інша формула з накопиченими частотами.

Після списку помилок варто запам’ятати: завжди спочатку сортуйте. Якщо сумніваєтеся — перевірте на маленькому прикладі вручну, а потім порівняйте з результатом формули.

Медіана для згрупованих даних (коротко)

Іноді дані вже зібрані в інтервали (наприклад, «від 10 до 20 тис. грн — 15 осіб»). Тоді проста формула не підходить. Використовують формулу з накопиченими частотами:

Me = L + ((n/2 − F) / f) × h

де L — нижня межа інтервалу, що містить медіану, F — накопичена частота до цього інтервалу, f — частота медіанного інтервалу, h — ширина інтервалу.

Цей спосіб дає наближене значення. Для точних розрахунків краще мати сирі (незгруповані) дані.

Коли медіана особливо корисна

Медіану варто рахувати майже завжди, коли:

• аналізуєте доходи, ціни на нерухомість, вартість оренди;
• дивіться на час очікування, тривалість дзвінків, час відповіді підтримки;
• оцінюєте результати тестів або іспитів, де кілька людей набрали дуже високі або дуже низькі бали;
• працюєте з будь-якими даними, де є підозра на викиди.

У соціології та економіці медіану часто публікують разом із середнім саме для того, щоб читач міг оцінити, наскільки «типовим» є середнє значення. Якщо різниця велика — варто шукати причину.

За спостереженнями, коли показуєш замовнику тільки середнє, він часто робить занадто оптимістичні або песимістичні висновки. Коли додаєш медіану — розмова стає предметнішою.

Що робити далі з отриманою медіаною

Після того, як ви знайшли медіану, корисно:

• порівняти її із середнім арифметичним — різниця покаже наявність викидів;
• подивитися на квартилі (25 % і 75 %) — вони дають ширшу картину розподілу;
• побудувати box-plot (ящик з вусами) — медіана там зображена явно;
• перевірити, як змінюється медіана, якщо прибрати кілька найбільших або найменших значень.

Ці прості кроки перетворюють одне число на справжній інструмент аналізу.

Медіану вибірки знайти нескладно: відсортували — знайшли середину — готово. Головне — не плутати її із середнім і завжди пам’ятати про сортування. Якщо дані вже в таблиці, найшвидший шлях — функція MEDIAN. Якщо працюєте з кодом — statistics.median або pandas.median. А якщо хочете глибше зрозуміти розподіл — дивіться медіану разом із квартилями. Так ви отримаєте набагато повнішу картину, ніж одне лише середнє значення.