Коротко:
- Твірна конуса — це відрізок від вершини до будь-якої точки кола основи; її довжина позначається літерою l.
- Основна формула: l = √(r² + h²), де r — радіус основи, h — висота.
- Якщо відома площа бічної поверхні Sбіч, тоді l = Sбіч / (πr).
- Через об’єм і радіус можна спочатку знайти висоту, а потім твірну.
- У прямому круговому конусі всі твірні рівні; у похилому — різні.
- Найчастіша помилка учнів — плутати твірну з висотою або діаметром.
Твірна конуса — одна з тих величин, без якої майже не розв’язується жодна задача на поверхню чи розгортку. Якщо ви тримаєте в руках олівець, лінійку і аркуш із конусом, то саме твірна підкаже, скільки «скосу» має фігура і як правильно побудувати її розгортку. Зараз розберемо всі робочі способи знаходження цієї довжини — від найпростішої формули до випадків, коли відомі лише площа чи об’єм.
Більшість шкільних і вступних задач стосується прямого кругового конуса. Саме на нього і орієнтуватимемося. Якщо конус похилий, то твірні вже не рівні між собою, і доводиться шукати кожну окремо — про це теж коротко згадаємо.
Що саме називають твірною конуса
Уявіть конус як фігуру, що утворюється обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Тоді гіпотенуза цього трикутника і є твірною. Вона лежить на бічній поверхні, з’єднує вершину з точкою на колі основи і водночас є найкоротшою відстанню між цими двома точками по поверхні.
У прямому круговому конусі всі твірні рівні. Це важлива властивість: якщо ви знайшли одну — знаєте всі. У похилому конусі твірні мають різну довжину, і задача ускладнюється. У шкільному курсі майже завжди працюють із прямим конусом, тому надалі під «конусом» розумітимемо саме його.
На кресленні твірну часто позначають літерою l (або іноді m). Висота — h, радіус основи — r. Ці три величини завжди утворюють прямокутний трикутник, де l — гіпотенуза. Звідси й головна формула.
Основна формула: як знайти твірну через радіус і висоту
Найпоширеніший і найнадійніший спосіб — використати теорему Піфагора. Якщо відомі радіус основи r і висота h, то:
l = √(r² + h²)
Чому саме так? Висота перпендикулярна до площини основи і падає в центр кола. Радіус — це відрізок від центру до точки на колі. Твірна з’єднує вершину з тією ж точкою. Отримуємо прямокутний трикутник із катетами r і h та гіпотенузою l.
Розглянемо конкретний приклад. Нехай радіус основи 6 см, висота 8 см. Тоді:
- r² = 36
- h² = 64
- r² + h² = 100
- l = √100 = 10 см
Усе просто. Але учні часто забувають підносити до квадрата обидва числа і намагаються додати під коренем уже готові значення. Або плутають і беруть діаметр замість радіуса. Перевіряйте одиниці вимірювання: якщо r дано в метрах, а h у сантиметрах — спочатку зведіть до однієї системи.
У практиці, коли перевіряю зошити, помічав, що найчастіше помиляються саме на цьому етапі — неправильно підставляють числа під корінь. Тому раджу завжди спочатку записувати формулу словами: «корінь із суми квадратів радіуса і висоти».
Що робити, якщо відомий діаметр
Діаметр d = 2r, отже r = d/2. Підставляємо:
l = √((d/2)² + h²)
Приклад: діаметр 10 см, висота 12 см. Радіус 5 см. l = √(25 + 144) = √169 = 13 см. Класичний єгипетський трикутник 5-12-13.
Як знайти твірну, якщо відома площа бічної поверхні
Площа бічної поверхні прямого кругового конуса обчислюється за формулою:
Sбіч = π r l
Звідси легко виразити твірну:
l = Sбіч / (π r)
Цей спосіб зручний, коли в задачі дано площу і радіус, а висоту не згадують. Наприклад, Sбіч = 94,2 см², r = 5 см. Беремо π ≈ 3,14:
- π r = 3,14 × 5 = 15,7
- l = 94,2 / 15,7 = 6 см
Якщо потрібно працювати точніше, залишайте π у відповіді або використовуйте 22/7. У більшості шкільних задач дозволяють округлення до десятих або сотих.
Важливий нюанс: формула працює лише для бічної поверхні. Якщо дана повна площа (бічна + площа основи), спочатку відніміть площу круга πr² і тільки потім діліть.
Знаходження твірної через об’єм
Об’єм конуса V = (1/3) π r² h. Якщо відомі об’єм і радіус, спочатку знаходимо висоту:
h = 3V / (π r²)
А далі підставляємо в основну формулу l = √(r² + h²). Це вже двокроковий розрахунок, тому легко помилитися на проміжному етапі.
Приклад. Об’єм 100π см³, радіус 5 см. Тоді:
- h = 3 × 100π / (π × 25) = 300π / 25π = 12 см
- l = √(25 + 144) = √169 = 13 см
Зверніть увагу: π скорочується, і відповідь виходить «чистою». У задачах із параметром π часто саме так і задумано.
Якщо відомі об’єм і твірна, а треба знайти радіус чи висоту — задача стає складнішою і зазвичай вимагає складання системи рівнянь. Але це вже рівень олімпіад або поглибленого курсу.
Твірна і кут нахилу
Іноді замість висоти дають кут між твірною і основою або між твірною і висотою. Позначимо α — кут між твірною і площиною основи. Тоді:
sin α = h / l cos α = r / l tg α = h / r
Звідси:
- l = h / sin α
- l = r / cos α
Якщо відомий кут між твірною і висотою (позначимо β), то:
l = h / cos β l = r / sin β
У практиці помічав, що учні плутають, який саме кут дано. Завжди малюйте прямокутний трикутник і підписуйте кути. Один раз намалювали — і одразу видно, синус це чи косинус.
Приклад. Радіус 8 см, кут між твірною і основою 30°. Тоді cos 30° = √3/2 ≈ 0,866. l = 8 / 0,866 ≈ 9,24 см. Якщо кут 45°, розрахунки стають приємнішими: l = r√2.
Порівняння способів знаходження твірної
| Відомі величини | Формула для l | Коли зручно застосовувати |
|---|---|---|
| r і h | √(r² + h²) | Найчастіший випадок у підручниках |
| Sбіч і r | Sбіч / (π r) | Коли дана площа бічної поверхні |
| V і r | Спочатку h = 3V/(π r²), потім √(r² + h²) | Задачі на об’єм |
| r і кут α з основою | r / cos α | Тригонометричні задачі |
| h і кут α з основою | h / sin α | Коли висота і кут нахилу |
Таблиця допомагає швидко зорієнтуватися. Якщо в умові з’являється ще й повна поверхня або твірні сусідніх фігур — просто додаєте один-два кроки, але база залишається тією ж.
Типові помилки, які роблять майже всі
Перша і найпоширеніша — підставляти діаметр замість радіуса. Друга — забувати, що під коренем сума квадратів, а не квадрат суми. Третя — плутати бічну і повну поверхню.
Ще одна класика: учні беруть формулу для площі сектора розгортки і намагаються з неї витягнути твірну, забуваючи про довжину дуги. Розгортка бічної поверхні — це сектор кола радіусом l і довжиною дуги 2πr. Звідси можна знайти і кут сектора, і саму твірну, якщо відомі інші параметри. Але це вже окремий тип задач.
За досвідом перевірки контрольних, приблизно третина помилок виникає через неправильне округлення. Якщо в умові π = 3,14 — тримайтеся цього значення до кінця. Якщо π залишають у відповіді — не переходьте на десяткові дроби без потреби.
Кілька робочих прикладів різної складності
Приклад 1. Радіус 9 см, висота 12 см. Знайти твірну.
l = √(81 + 144) = √225 = 15 см. Прямий розрахунок.
Приклад 2. Площа бічної поверхні 150π см², радіус 10 см. Знайти твірну і висоту.
- l = 150π / (π × 10) = 15 см
- h = √(l² − r²) = √(225 − 100) = √125 = 5√5 см
Приклад 3. Об’єм 48π см³, твірна 10 см. Знайти радіус і висоту (складніший випадок).
Маємо систему:
- r² + h² = 100
- (1/3)π r² h = 48π → r² h = 144
З першого рівняння h² = 100 − r². Підставляємо і отримуємо рівняння відносно r². Це вже квадратне рівняння, яке розв’язується стандартно. Такі задачі з’являються на олімпіадах і в поглиблених класах.
Ще один момент, який рідко згадують у підручниках: якщо конус зрізаний (зрізаний конус), то твірну шукають уже за іншою формулою — через різницю радіусів і висоту зрізаної частини. Але це тема окремої статті.
Практичні поради, як не заплутатися
Завжди починайте з малюнка. Навіть якщо задача здається простою — намалюйте вісь, радіус, твірну. Підпишіть усі відомі величини. Потім виберіть формулу залежно від того, що дано.
Перевіряйте розмірність. Якщо відповідь виходить у квадратних сантиметрах, а шукали довжину — щось пішло не так. І навпаки.
У практиці, коли готую учнів до ЗНО, помічав: ті, хто привчає себе спочатку писати «дано — знайти — розв’язання», майже ніколи не плутають формули. Це займає зайву хвилину, але економить бали.
Якщо задача комбінована (конус + циліндр, конус + куля), спочатку виділіть той прямокутний трикутник, де твірна є гіпотенузою. Усе інше — додатки.
І останнє. Не бійтеся залишати відповідь у радикалах. √125 або 5√5 — цілком прийнятний результат, якщо в умові не вимагають наближення.
Тепер у вас є всі основні інструменти. Берете умову, визначаєте, які дані є, обираєте відповідну формулу і рахуєте. Якщо щось не сходиться — повертаєтеся до малюнка і перевіряєте, чи правильно визначили катети. Саме так і знаходять твірну конуса в більшості реальних задач.
